Упражнения

5.1. Укажите несколько значений переменных, при которых следующие предикаты истинны, ложны:

1. х 2 , х  N; 9. = - x, x  R;

2. х < 1 , x  N ; 10. > 0 ,

3. x > 6 x  3 , xZ; 11. sin x = -, x R;

4. x+ 3x +6 = 0 , x  R; 12. cos x = , x R;

5. = 0, xR; 13. x  y , x,y  R;

6. | x - 5 | < 2, 14. x + y < 3, x,y N;

7. | 2x + 3 |  2x + 3, x  R; 15. x ( y - 1 ) = 0, x,yR;

8. = x, x  R; 16. x+ y=4, x, y R.

5.2. Найдите область истинности предикатов упражнения 5.1. Случаи 13 - 16 изобразите на координатной плоскости.

5.3. Найдите область истинности предикатов:

1. = 0; 7. | 3x - 2 | > 8;

2. = ; 8. | 5x - 3 | < 7;

3. - > ; 9. 2 - | x | = 1,7;

4. ; 10. | 3x - 1 | = 3x - 1;

5. < 0 ; 11. | 3x - 1 | = 1 - 3x;

6. > 0; 12. | 2x + 4 |  2x + 4.

5.4. Найдите область истинности предикатов :

1. ( < x + 1,5 )  ( 2x - 8 > 3 - 0,5 x);

2. ( - 4 < - 1)  (x + 2 ( 2x- 1) < 3( x +1);

3.(-+2x<3x-3)  (- 3(1-x)+2x<);

4.(- + x < 2x - 4 )( + 3 (x - 1)< );

5.(( x+3 ) ( x - 1) < 0 )  ( x+ 4x + 6 > x ( x - 5 );

6.((x- 6x + 9 )(2x - 10) < 0)  ( 6 + x ( 7 - x ) < x+2x(5-x);

7.( 1 +  )  ( - 1 < 5x - 5)

8.( - > 2)  ( - 3x - 1 > 2) ;

9.( + 6x > + 4 )  ( - > - );

10.( 0,2 ( 2x - 3 ) < x - 2 )  ( 5x - 7 > x - 6 ).

5.5. Найдите область истинности предикатов:

1. sin x = ; 2. cos x = -;

3. tg x = 1; 4. ctg x = - 1;

5. 4 - cosx = 4 sin x 6. 5 - 2 cos x=5sin

5.6. Определите тождественную истинность и тождественную ложность предикатов:

1. x+ x = 2 , x  N ; 2. x+ 1 = 0 , x  R ;

3. 1+cos x=2 cos; xR; 4. 1- cos x=2 sin, x  R;

5. ( x+ x ) 2 , xZ; 6.(x 2) ( x = 2y +1), x,y Z

7. (x2) (x=2y +1), x,yZ; 8.(x 2) ( x = 2y +1), x,y Z;

9. (x 9)(x3), x,y Z.

5.7. Найдите значение следующих высказываний:

1. ( x  N ) (x  1) ; 2. ( x  N ) x  1

3. ( x  Z ) ( x+ x = 2); 4. ( x Z) (x+ x = 2 );

5. ( x  Z ) ( (x > 10) (x  3));

6. ( x  Z ) (( x  3 )  ( x > 10);

7. (  x,y  Z ) ( x + y = 3 );

8. (  x,y  Z ) ( x + y = 3 );

9. ( x,y  R ) ( x < y  x< y);

10. ( x,y  R) ( x < y  x< y).

З А Н Я Т И Е № 6.

Применение предикатов.

6.1. Отношение следования и равносильности

Определение. Пусть Р(х) и Q(х) - высказывательные формы (предикаты). Говорят, что из Р(х) следует Q(х) и пишут Р(х)  Q(х), если область истинности Р(х) содержится в области истинности Q(х)

( D_P  D_Q ).

П р и м е р. P(x): x > 1; Q(x): x > 0,5.

Тогда D_P = (1 ;+), D_Q = (0,5 ; +), D_P  D_Q, и, следовательно, P(x)  Q(x), но Q(x) P(x).

Также можно сказать, что из Р(х) следует Q(х), если для любого х, при котором Р(х) истинно, Q(х) - истинно.

Определение. Две высказывательные формы Р(х) и Q(х) называются равносильными (Р(х)  Q(х)), если P(x)  Q(x) и Q(x)  P(x).

Способы получения равносильных уравнений.

1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение, имеющее смысл в области определения уравнения (ОДЗ), то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

2. Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком.

3. Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же выражение, имеющее смысл и не обращающееся в нуль в ОДЗ, то получится уравнение, равносильное данному уравнению.

4. Любое слагаемое ( или множитель) в одной из частей уравнения можно заменить на ему тождественно равное (равный) в ОДЗ.

Аналогичны способы получения равносильных неравенств

(1,2 и 4, сформулируйте их), но есть и отличие:

3’. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то же выражение А(х), имеющее смысл, сохраняющее знак и не обращающееся в нуль в ОДЗ неравенства, то при А(х) > 0 получится неравенство, равносильное данному, а при А(х) < 0 равносильным данному является неравенство противоположного знака.