Кванторы общности и существования

При изучении высказывательных форм (предикатов) был указан один из способов получения высказываний: подстановка какого-нибудь значения переменной в Р(х) из некоторого множества А. Например,

Р(х):” х - простое число”. Подставив х = 7, получим высказывание

“ 7 - простое число”. Мы познакомимся ещё с двумя логическими операциями: навешивание квантора общности и квантора существования, которые позволяют получить из высказывательных форм высказывания.

Подставим перед высказывательной формой Р(х) слово “любое”: “ любое х - простое число”. Получили ложное высказывание. Подставим перед Р(х) слово “некоторые”: “ некоторые числа х - простые”. Получили истинное высказывание.

В математике слова “любые”, “некоторые” и их синонимы называются кванторами, которые соответственно называются квантор общности () и квантор существования (). Квантор общности заменяется в словесных формулировках словами: любой, все, каждый, всякий и т.д. Квантор существования в словесной формулировке заменяется словами: существует, хотя бы один, какой-нибудь найдётся и т.д.

Пусть Р(х) - высказывательная форма на М. Запись

(хМ) Р(х)

означает: для любого элемента х (из множества М) имеет место Р(х), что уже представляет собой высказывание. Чтобы доказать, что высказывание (х)Р(х) - истинно, надо перебрать все элементы а, b, с и т.д. из М и убедиться, что Р(а), Р(b), Р(с),... истинны, и, если невозможно перебрать элементы М, должны доказать с помощью рассуждений, что для любого а из М высказывание Р(а) истинно. Чтобы убедиться, что (х)Р(х) ложно, достаточно найти лишь один элемент аМ, для которого Р(а) ложно.

ПРИМЕР. Дана высказывательная форма

В(х):” - простое число”.

В(1): 2² + 1 = 5 - простое число;

В(2): = 17 - простое число;

В(3): = 257 - простое число;

В(4): = 65537 - простое число.

Можно ли сказать, что (х)В(х) ? Это необходимо доказывать. Леонард Эйлер доказал, что В(5) - ложно, т.е. + 1 = 2³² + 1 делится на 641 и, следовательно, (х)В(х) - ложно.

ПРИМЕР. Рассмотрим высказывание (х)С(х), где на N задано С(х): “х³ + 5х делится на 6”.

Очевидно, С(1), С(2), С(3), С(4) истинны. Но если мы проверим даже миллион значений х всегда есть опасность, что для миллион первого значения х утверждение С(х) окажется ложным.

Доказать можно, например, так:

х³ + 5х = х³ - х + 6х = х(х² - 1) + 6х = (х - 1)х(х + 1) + 6х

Выражение (х - 1)х(х + 1) делится на 3, так как из трех последовательных натуральных чисел по крайней мере одно делится на 3; это выражение делится и на 2, так как из трех последовательных чисел одно или два числа чётны. Второе слагаемое 6х делится на 6, следовательно и вся сумма делится на 6, т.е. (х)С(х) - истинно.

Пусть С(х) некоторая высказывательная форма. Запись

(х)С(х)

означает: существует элемент х из множества М, для которого имеет место С(х). (х)С(х) уже высказывание. Если во множестве М можно найти элемент а, для которого С(а) истинно, то высказывание(х)С(х) - истинно. Если же в М нет ни одного элемента а, для которого С(а) истинно, высказывание (х)С(х) - ложно.

ПРИМЕР. На множестве N задано С(х):” ”. С(1) - ложно, С(2) - ложно, С(5) - истинно. Следовательно, (х)С(х) - истинное высказывание.

ПРИМЕР. На множестве N задано К(х):” х² + 2х + 3 делится на 7”. К(1) = 6, 6 не делится на 7; К(2) = 11, 11 не делится на 7 и т.д.

Гипотеза: (х)К(х) - ложно.

Докажем это. Любое натуральное число по теореме о делении с остатком можно представить в виде n = 7q + r, где r < 7.

n² + 2n + 3 = (7q + r)² + 2(7q + r) + 3 = 7(7q² + 2qr + 2q) + r² + 2r + 3.

Итак, число n² + 2n + 3 делится на 7 тогда и только тогда, когда r² + 2r + 3 делится на 7. Остаток r  { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Методом перебора убедимся, что r² + 2r + 3 не делится на 7. Итак, (х)К(х) - ложно.

Как построить отрицание высказывания с квантором?

Для того чтобы построить отрицание высказывания с квантором, нужно заменить квантор общности () на квантор существования () и, наоборот, квантор существования на квантор общности, а предложение , стоящее после квантора, на его отрицание, т.е.

[(x)P(x)  (x)P(x);

[(x)P(x)  (x)P(x).

Например, пусть даны два высказывания:

А: “каждое простое число нечётно”;

В: “ каждое простое число чётно”.

Будет ли В отрицанием высказывания А? Нет, так как ни одно из высказываний не является истинным. В данном случае

А: “не каждое простое число нечётно, т.е. существует чётное простое число” - истинное высказывание.

В дальнейшем считаем, что построено отрицание предложения, если не просто записано его отрицание, но и полученное предложение преобразовано к виду, где знаки отрицания стоят перед более простыми выражениями. Например, отрицанием предложения вида А В будем считать не ( А В ), а ему равносильное: А  В.

Пусть А(х,у) - высказывательная форма с двумя переменными.

Тогда (х)А(х,у), (х)А(х,у), (х)А(х,у), (х)А(х,у) тоже высказывательные формы но уже с одной переменной. В этом случае говорят, что квантор связывает одну переменную. Чтобы получить из высказывательной формы А(х,у) высказывание необходимо связать обе переменные. Например, (х)(у)А(х,у) - высказывание.

Для высказывательной формы Р(х,у): “ x < y”, заданной на Z, рассмотрим все случаи получения высказывания путем добавления ( навешивания ) кванторов:

1) (х)(у)Р(х,у)  л - “ Для всякого х и для всякого у х < y”;

2) (у)(х)(х < y)  л - “Для всякого у и для всякого х х < y”;

3) (x)(y) (x < y)  и - “Существует х и существует у такие, что x < y”;

4) (у)(х) (х < y)  и - “Существует х и существует у такие, что x < y”;

5) (х)(у) (x < y)  и - “Для всякого х существует у такое, что x < y”;

6) (у)(х) (x < y)  л - “Существует у такое, что для всякого х х < y”;

7) (у)(х) (х < y)  и - “Для всякого у существует х такое, что x < y”;

8) (х)(у) (x < y)  л - “Существует x такое, что для всякого y х < y”.

` Обратите внимание на высказывания (1) и (2), (3) и (4). Структуры этих высказываний отличаются лишь порядком следования одноименных кванторов, но при этом не меняются смысл и значения истинности высказываний.

Высказывания (5) и (6), (7) и (8) отличаются порядком следования разноимённых кванторов, что приводит к изменению смысла и, возможно, значения истинности высказывания. Высказывание (7) утверждает о наличии в Z наименьшего числа, что ложно. (8) утверждает об отсутствии такого , что истинно.

Теоретические вопросы:

1. Понятие предиката от одного, нескольких переменных.

2. Примеры одноместных и двуместных предикатов. 3. Область истинности предиката.

4. Кванторы общности и существования. Свободные и связанные переменные. Операции над предикатами. Какова область истинности ; ; ; ? Дать геометрические интерпретации.

5. Преобразование формул логики предикатов. Определение тождественно истинного и тождественно ложного предиката, связь с областью истинности. Основные равносильности.