1.2. Принцип измерения сопротивления методом моста Уитстона

Метод моста Уитстона – один из наиболее точных методов определения электрического сопротивления.

Рис. 3. Схема моста Уитстона

Сопротивления образуют его плечи (рис.3). Между точками А и В моста включена батарея с э.д.с. и сопротивлением , между точками и включен гальванометр с сопротивлением . Для узлов А, С и D, применяя первое правило Кирхгофа, получим

(3)

Для контуров , и , согласно второму правилу Кирхгофа, можно записать:

(4)

Если известны все сопротивления и э.д.с., то, решая полученные шесть уравнений, можно найти неизвестные токи. Изменяя известные сопротивления и , можно добиться того, чтобы ток через гальванометр был равен нулю Тогда из системы (3) следует равенство для сил токов

, . (5)

Из системы (4) с учетом (5) получаем

, .

Откуда

или . (6)

Таким образом, в случае равновесного моста при определении искомого сопротивления э.д.с. батареи, сопротивления батареи и гальванометра роли не играют.

На практике обычно используется реохордный мост Уитстона, где сопротивления и представляют собой длинную однородную проволоку (реохорд) с большим удельным сопротивлением, так что отношение можно заменить отношением . Тогда, выражение (7) можно записать

. (7)

Длины и легко измеряются по шкале, а сопротивления эталона всегда известно. Поэтому уравнение (7) позволяет определить неизвестное сопротивление .

Рис. 4. Схема реохордного моста Уитстона

Так как электрическое сопротивление реохорда сравнительно небольшое, то мост Уитстона описанного типа применяется для измерения сопротивлений порядка 10³ Ом.

Определим положение движка реохорда, соответствующее минимальной погрешности измерения сопротивления.

Относительная погрешность измерения сопротивления мостиком Уитстона, которую легко получить из формулы (7), равна:

(8)

т.к. абсолютная погрешность измерения длин плеча реохорда равна: , то

, (9)

где l = l₁ + l₂ – длина провода реохорда.

Относительная погрешность будет минимальна тогда, когда знаменатель второго члена правой части формулы (9) максимален.

Найдем условие максимума функции:

Отсюда:

,

Таким образом, погрешность будет минимальной, когда при равновесии мостика Уитстона движок реохорда находится в среднем положении, т.е. l₁ = l₂.

В этом случае формула (7) принимает вид: R_Х = R_Э.

2. Практическая часть

Задание 1. Определение сопротивления первого резистора

1. Собрать схему экспериментальной установки по рисунку 1 или 2, используя в качестве исследуемого сопротивления первый резистор с неизвестным сопротивлением.

2. Начертить таблицу 1 для занесения в нее результатов измерения и расчетов.

3. Провести измерения сопротивления первого резистора, меняя эталонные (известные) сопротивления и измеряя длины плеч, которые образуются путем перемещения ползунка реохорда. Результаты измерений занести в таблицу (измерения повторяются для каждого эталонного сопротивления).

4. Длина правого плеча вычисляется по формуле , где – длина катушки реохорда.

Таблица 1

Определение электрического сопротивления первого резистора

№	Сопротивление эталона Rэ, Ом	Длина левого плеча l1, см	Длина правого плеча l2, см	Сопротивление резистора Rx1, Ом	Абсолют. погрешность сопротивленияRx1, Ом	Относит. погрешность сопротивления Rx1, %
1
2
3
4
5
Средние значения

5. Вычислить сопротивление первого резистора по формуле для каждого измерения.

6. Вычислить среднее значение сопротивления первого резистора по формуле .

7. Вычислить абсолютную и относительную погрешности сопротивления первого резистора по формулам и для каждого измерения.

8. Вычислить среднюю абсолютную и относительную погрешности сопротивления первого резистора по формулам и , где t_kn - коэффициент Стьюдента, зависящий от заданной вероятности k и числа измерении n. Для k = 0,95, принятой в студенческом практикуме, коэффициент Стьюдента для различного числа измерения n указан в таблице ниже.

Количество измерений, n	3	4	5	6	7	8	9	10
Коэффициент Стьюдента, tkn	4,3	3,2	2,6	2,4	2,3	2,0	1,8	1,5

9. Записать окончательное значение сопротивления первого резистора в виде .

Задание 2. Определение сопротивления второго резистора

10. Заменить в экспериментальной установке первой резистор с неизвестным сопротивлением вторым резистором с неизвестным сопротивлением.

Таблица 2

Определение электрического сопротивления второго резистора

№	Сопротивление эталона Rэ, Ом	Длина левого плеча l 1, см	Длина правого плеча l 2, см	Сопротивление резистора Rx2, Ом	Абсолют. погрешность сопротивленияRx2, Ом	Относит. погрешность сопротивления Rx2, %
1
2
3
4
5
Средние значения

11. Начертить таблицу 2 для занесения в нее результатов измерения и расчетов. Произвести измерение сопротивления второго резистора и вычислить абсолютные и относительные погрешности, повторив пункты 3-9. Результаты измерений и расчетов занести в таблицу 2.

Задание 3. Определение сопротивления двух последовательно соединенных резисторов

12. Заменить в экспериментальной установке второй резистор с неизвестным сопротивлением двумя последовательно соединенными резисторами с неизвестными сопротивлениями.

13. Начертить таблицу 3 для занесения в нее результатов измерения и расчетов. Произвести измерение сопротивления двух последовательно соединенных резисторов, повторив пункты 3-6. Результаты измерений занести в таблицу 3.

Таблица 3

Определение электрического сопротивления последовательно соединенных резисторов

№	Сопротивление эталона Rэ, Ом	Длина левого плеча l 1, см	Длина правого плеча l 2, см	Сопротив. соедин. резист. , Ом	Абсолют. погрешность сопротивл. Rx пос, Ом	Относит. погрешность сопротивл. Rx пос, %
1
2
3
4
5
Средние значения

14. Вычислить абсолютную и относительную погрешности сопротивления двух последовательно соединенных резисторов по формулам и для каждого измерения, где теоретическое значение сопротивления двух последовательно соединенных резисторов определяется по формуле .

15. Вычислить среднюю абсолютную и относительную погрешности сопротивления двух последовательно соединенных резисторов согласно пункту 8 и запишите в виде, указанном в пункте 9.

Задание 4. Определение сопротивления двух параллельно соединенных резисторов

16. Изменить в экспериментальной установке последовательное соединение двух резисторов с неизвестным сопротивлением на параллельное соединение.

17. Начертить таблицу 4 для занесения в нее результатов измерения и расчетов. Произвести измерение сопротивления и вычислить абсолютную и относительную погрешности сопротивления двух параллельно соединенных резисторов, повторив пункты 13-15. Результаты измерений занести в таблицу 4. Теоретическое значение сопротивления двух параллельно соединенных резисторов определяется по формуле .

Таблица 4

Определение электрического сопротивления параллельно соединенных резисторов

№	Сопротивление эталона Rэ, Ом	Длина левого плеча l 1, см	Длина правого плеча l 2, см	Сопротив. соедин. резист. Rx пар , Ом	Абсолют. погрешность сопротивл. Rx пар, Ом	Относит. погрешность сопротивл. .Rx пар, %
1
2
3
4
5
Средние значения

18. Сформулируйте вывод работы.