2.2 Розв’язання задач теорії пружності в переміщеннях

Для визначення трьох невідомих складові переміщення  необхідно мати три рівняння, які можна одержати з диференціальних рівнянь рівноваги (2.1), виразивши в них напруги через переміщення. Скористаємося першим рівнянням (2.1) і підставимо в нього напруги з формул закону Гука (2.6):

Підставивши в це рівняння значення деформацій (2.3), після групування доданків знаходимо

(2.7)

Вирази в перших дужках можна позначити скорочено:

(2.8)

Цей диференціальний оператор називається оператором Лапласа над функцією  й читається «набла два ».

Вираз, що знаходиться в других дужках, можна спростити в такий спосіб:

Після зазначених скорочень і спрощень рівняння (2.7) приймає вигляд

Аналогічно перетворимо й два інших диференціальних рівняння рівноваги (2.1). Таким чином, одержуємо систему рівнянь для розв’язання задач теорії пружності в переміщеннях:

(2.9)

Ці рівняння називаються рівняннями Ламі. Вони поєднують статичні, геометричні й фізичні передумови теорії пружності, розглянуті вище. Дійсно, в них знаходяться умови рівноваги кожного елемента тіла, геометричні характеристики деформації  й фізичні характеристики матеріалу  й .

Так само як і рівняння рівноваги, перетворимо умови на поверхні. Для цього в перше рівняння (2.2) підставимо вираз напруг через деформації (2.6):

(2.10)

Вираз в перших дужках являє собою похідну функції  по напрямку нормалі  до поверхні тіла. Дійсно, обчислюючи частинну похідну складної функції  по змінній , одержуємо

Похідні координат по  являють собою відповідні напрямні косинуси нормалі :

Таким чином,

і рівняння (2.10) приймає вигляд

(2.11)

Точно так само можна перетворити два інших рівняння (2.2). У результаті приходимо до наступних трьох умов на поверхні, виражених через переміщення:

(2.12)

Тепер можна скласти план безпосереднього розв’язання задач теорії пружності в переміщеннях. Для визначення трьох складових переміщення  необхідно про інтегрувати три рівняння Ламе (2.9) і задовольнити умовам на поверхні (2.12). По знайдених переміщеннях з геометричних співвідношень Коші (2.3) визначають складові деформації, а потім з формул закону Гука (2.6) - складових напруг.

3.Основні рівняння теорії пружності. Розвязання задачі теорії пружності в напружності(р-ня Бельтрамі-Мічела).

2.3 Рішення задачі теорії пружності в напруженнях при постійних об'ємних силах

Обмежимося випадками, коли об'ємні сили постійні по всьому обсягу тіла або дорівнюють нулю. Це обмеження дозволяє значно спростити деякі рівняння прирішенні задач в напруженнях, так як всі похідні складових об'ємних сил по координатах  обертаються в нуль.

Розглянемо властивості функцій  і  при постійності об'ємних сил. Продифференціював перше рівняння Ламе (2.9) по  друге — по  третє — по  й почленно склавши, одержимо

(2.13)

Вираз, що знаходиться в перших дужках, являє собою оператор Лапласа над функцією :

Вираз в других дужках можна перетворити, і виявляється, що це той же оператор Лапласа над функцією :

Тоді замість (2.13) одержимо

або

(2.14)

Функція, що підкоряється рівнянню (2.14), називається гармонійною. Отже, при постійності об'ємних сил об'ємна деформація 9 є гармонійна функція.

Підставляючи в рівняння (2.14) вираз об'ємної деформації (1.65) і ділячи на постійний множник, одержуємо

(2.15)

тобто при постійності об'ємних сил перший інваріант напруженого стану теж є функція гармонійна.

При рішенні задачі теорії пружності в напругах за основні невідомі приймають, як уже говорилося, шість складових напружень 

Для їх визначення трьох рівнянь рівноваги (2.1) недостатньо й тому потрібно додати ще шість рівнянь нерозривності деформацій (2.4). В останні входять складові деформації, які необхідно попередньо виразити через напруження. Підставляючи в перше рівняння (2.4) вираз деформацій (2.5), одержимо

(2.16)

Для практичного застосування рівняння (2.16) варто перетворити, виключивши з нього дотичне напруження . Для цього продифференціюєм перше рівняння рівноваги (2.1) по х, друге — по у, третє — по z. Складаючи почленно два перших з отриманих рівнянь і віднімаючи третє, знаходимо

(2.17)

Підставляючи (2.17) у рівняння (2.16), одержуємо

Додамо і віднімемо в цьому рівнянні  Тоді з урахуванням рівняння (2.15)

Аналогічно можна перетворити інші рівняння нерозривності деформацій (2.4). В результаті одержимо шість рівнянь:

(2.18)

Ці рівняння одержав італійський математик Е. Бельтрамі. Трохи пізніше австралієць Дж. Мичелл вивів аналогічні рівняння для загального випадку, коли об'ємні сили не постійні і, отже, у праву частину рівнянь замість нулів входять члени, що містять похідні від об'ємних сил. Тому рівняння (2.18) називають рівняннями Бельтрамі-Мичелла.

Таким чином, для рішення завдання теорії пружності в напруженнях доводиться інтегрувати дев'ять рівнянь (2.1) і (2.18). Наявність трьох зайвих рівнянь необхідно для одержання однозначного рішення, про що вже говорилося при виводі рівнянь нерозривності деформацій (2.4), наслідком яких є рівняння Бельтрамі-Мичелла.

Отримані після інтегрування шість складових напружень повинні задовольняти умовам на поверхні (2.2). Після цього по формулах закону Гука (2.5) визначають складові деформацій, а з геометричних співвідношень Коші (2.3) - складових переміщень.