6. Уголопределяется следующим образом

Материал лекции изложен в учебнике С.А.Фролова /изд. 1978 г./ на страницах 139-147,190-192,195-197.

15.1

Л Е К Ц И Я №15

Тема лекции.

Прямые и плоскости, касательные к кривым поверхностям.

Содержание лекции.

Понятия и определения. Построение плоскостей, касательиых к поверхности. Взаимное касание поверхностей.

15.1 Понятия и определения.

Плоскостью, касательной к поверхности в некоторой её точке, называют плоскость, образованную прямыми, касательными к плоским кривым, принадлежащим поверхности и проходящим через ту же точку.

На рис. 15.1 показаны три плоские кривые m1,m2,m3, принадлежащие поверхности и проходящие через точку К. Прямые t1,t2,t3, это прямые, касательные соответственно к кривым m1, m2, m3 в

точке К. Все эти три прямые /t1,t2,t3 / будут лежать в одной плоскости. Эту плоскость, мы и будем называть касательной плоскостью к кривой поверхности в точке К. В точке К к поверхности можно провести сколь угодно много касательных прямых. Все они будут лежать в той же плоскости . Для построения касательной плоскости нет необходимости задавать большое количество касательных прямых, принадлежащих этой плоскости. Для этого, как известно, достаточно задать две прямые. В качестве двух касательных прямых, определяющих собой касательную плоскость, выбирают такие прямые, построение которнх является наиболее простым и удобным.

При построении касательных прямых к плоским кривым линиям

15.2

необходимо помнить, что кривая m и касательная к ней - прямая t должны быть

к о м п л а н а р н ы , т.е. должны принадлежать одной плоскости. Так, если все точки кривой m , принадлежат плоскости /рис. 15.2/ , то прямая t ,касающаяся кривой m в точке К также должна принадлежать плоскости .

Умение строить касательную плоскость к поверхности, позволяет решать задачи на построение нормалей к поверхности.

Нормалью к поверхности в данной точке называют прямую, перпендикулярную к касательной плоскости и проходящую через точку касания.

15.2 Построение плоскостей, касательных к поверхности.

Задачи на построение касательных плоскостей могут быть разделены на три группы.

1 - ая группа. Задачи на построение плоскости, касающейся поверхности в данной точке.

2 - ая группа. Задачи на построение касательной плоскости, проходящей через точку или прямую, расположенные вне поверхности.

3 - яя группа. Задачи на построеиие касательной плоскости по определенным геометрическим условиям

Рассмотрим эти группы задач в указанной последовательности.

1 – ая группа.

Задача. Постройть плоскость , касательную к поверхноети вращения в заданной точке К /рис.15.3/.

Решение

На поверхности через точку К проводим окружность m и в точке К строим прямую –t1 , касательную к этой окружности. Прямая – t1 лежит в горизонтальной плоскости, т.е. в плоскости окружности m.

Вторую касательную, определяющую плоскость , строим как

15.3

прямую, касательную к образующей поверхности, проходящей через точку К. Эта образующая, представляя собой, часть дуги окружности, будет, однако, проецироваться на V дугой эллипса. Чтобы упростить, решение преобразуем чертеж. Для этого поверхность вместе с точкой К повернем вокруг оси поверхности до положения, при котором точка К окажется на очерке поверхности. Теперь через эту точку просто провести касательную прямую t21, фронтальная проекция которой строится как прямая, касательная в точке , к очерку поверхности. Прямая t21 пересечет ось поверхности в точке А. Осуществляя обратный поворот поверхности с точкой К до прежнего положения, получаем искомое положение касательной прямой t2.

Касательные прямые t1 и t2, как две пересекающиеся прямые, определяют собой касательную плоскость .

Задача. Дана фронтальная проекция прямой 1 , касающейся конуса в точке К. Построить горизонтальную проекцию этой прямой /рис. 15.4/.

15.4

Решение

Задачу можно решить двумя способами.

Первый путь решения. Если через прямую l провести фронтально-проецирующую плоскость, то последняя рассечет конус по плоской кривой - эллипсу. Прямая l в точке К окажется касательной к этому эллипсу. Построив горизонтальную проекцию эллипса, мы сможем в точке К’ построить к этой проекции касательную прямую, которая и будет представлять собой искомую горизонтальную проекцию прямой l . Однако такой путь решения в данном случае не является рациональным и не может быть рекомендован из-за своей сложности и недостаточной точности решения.

Второй путь решения. Этот путь, показанный на рис. 15.4, по сравнению с первым, является более простым и более точным. Через точку К к конусу можно провести бесчисленное множество касательных прямых, одной из которых является заданная прямая 1 . Все эти прямые лежат в одной - касательной плоскости. Легко построить такую плоскость, а затем потребовать, чтобы заданная прямая 1 лежала в этой плоскости.

Касательную плоскость задаем образующей m по которой

15.5

плоскость будет касатьея конуса, и прямой t , касающейся в точке А основания конуса. Горизонтальную проекцию прямой найдем из условия, что прямая 1 доджна пересекать прямую t в точке В.

2 - ая группа.

Задача. Через заданную точку А провести плоскость, касательную к конусу /рис. 15.5/.

Решение

Любая плоскость, касательная к конусу будет касаться последнего по одной из его образующих. Каждая образующая проходит через вершину

конуса S . Следовательно, вершина конуса S всегда будет принадлежать любой касательной плоскости. Если точки А и S принадлежат касательной плоскости, то и прямая (АS) будет принадлежать этой плоскости и, следовательно, определять эту плоскость. Взяв на этой прямой точку Т, лежащую в плоскости основания конуса, проводим через нее прямые t1 и t2 , касающиеся основания конуса. Как видим, задача имеет два решения. Одной из касательных плоскостей будет плоскость

15.6

второй -

Для успешного решения других подобннх задач полезно запомнить следующее правило.

Если прямая проходит через вершину конуса и эта прямая не лежит внутри конической поверхности, то через эту прямую всегда можно провести к конусу касательную плоскость.

3 - яя грутша.

Задача. Построить плоскость , касательную к сфере и параллельную заданной плоскости /рис. 15.6/.

Решение.

Задача значительно упростится, если чертеж преобразовать так, чтобы плоскость стала проецирующей. На новой плоскости V₁ мы легко находим положение касательных плоскостей и , и точек касания и . Как видим, задача имеет два решения. На рис. 15.6 приведино лишь одно из них - плоскоть . Имея точку , последовательно находим положение

15.7

точек .

Примечание.

Радиус сферы, проведенный из ее центра в точку касания - К, перпендикулярен к плоскости , т.е. . Обратить внинание слушателей, что по этой причине проверкой правильности решения задачи может служить обязательное выполнение условия

15.3 Взаимное касание поверхностей.

Если две поверхности в некоторой точке касаются друг друга, то в этой точке они имеют общую касательную плоскость и общую нормаль.

В качестве примеров, иллюстрирующих это положение, на рис. 15.7 приведены фронтальные проекции касающихся сфер /рие. 15.7а/ и касающихся эллипсоидов /рис. 17^76/.

Если в первом случае общая нормаль к сферам в точке их касания - К проходит через центры этих поверхностей, то во втором случае это условие не соблюдается и общая нормаль к эллипсоидам в точке их касания может быть построена только как перпендикуляр к их общей касательной плоскости.

В качестве примера взаимного касания поверхностей решим следующую задачу.

Задача.

Дана фронтальная проекция сферы, касающейся поверхности вращения. Построить горизонтальную проекцию сферы и указать точку касания поверхностей /рис. 15.8/

15.8

Решение

Положение касающейся сферы относительно поверхности врания несложно определить в том случае, если центр сферы и ось поверхности вращения будут лежать в плоскости, параллельной плоскости проекций V. В этом случае фронтальные очерки поверхностей будут касаться друг друга, а точка их соприкосновения будет искомой точкой касания.

Вращая сферу вокруг оси поверхности вращения, находим указанное положеше сферы, ее центр О1, и точку касашя К1.

Затем производим обратный поворот сферы до ее начального положения, и находим искомую горизонтальнуго проекцию сферы и точку касания К.

Примечание. В качестве проверки правильности решения задачи может быть рассмотрена принадлежность точки касания К прямой (0В) в повернутом и начальном положениях.

Обратить внимание, что пряиая (0В) после обратного поворота должна пересечь ось поверхности вращения в той же точке С.

Материал лекции № 15 изложен в учебнике С.А.Фролова /изд. 1978 г./ на стр. 176 - 181 .

16.1

Л Е К Ц И Я №16

Тема лекции

Аксонометрические проекции / Аксонометрия /.

Содержание лекции

Сущность и основные положения аксонометрического проецирования. Прямоугольная изометрия. Прямоугольная диметрия, Построение очерков поверхностей в аксонометрии.