Важные примеры групп

1) GL(n,P) — полная линейная группа над полем P степени n. Рассмотрим множество матриц порядка n над некоторым полем P, определитель которых отличен от нуля: GL(n,P)={A P_n , }. Проверим, что это группа:

1. Операция  задана, ибо произведение невырожденных матриц — невырожденная матрица;

2. Операция  ассоциативна, ибо произведение матриц ассоциативно;

3. Существует нейтральный элемент — единичная матрица;

4. Обратная матрица существует и принадлежит GL(n,P), а это и есть симметричный элемент.

2) SL(n,P)={AP_n , =1} — специальная линейная группа степени n над полем. Это множество матриц над полем P порядка n, с определителем равным 1.

1. Операция  задана, ибо  = ;

2. Операция  ассоциативна;

3. Существует нейтральный элемент — единичная матрица, ибо E=1;

4. Существует элемент симметричный — обратная матрица, так как определитель не равен нулю, и она принадлежит SL(n,P).

3) S(X) — симметричная группа на множестве X, где X — не пустое множество, S(X) — множество биективных отображений из X в X. Тождественное отображение принадлежит , следовательно, S(X) 

1. Операция  задана, ибо произведение биективных отображений — биективное отображение;

2. Операция  ассоциативна, ибо произведение отображений ассоциативно;

3. Существует нейтральный элемент e_x (тождественное отображение на X);

4. Существует обратное отображение, для любого биективного отображения и оно принадлежит S(X).

Если X — конечное множество и состоит из n элементов =n, то в этом случае S(X) обозначается S_n , так как природа элементов не существенна, то полагаем Х={1,…,n}.

4) Рассмотрим множество четных подстановок A_n на множестве из n элементов. A_n , ибо тождественное отображение принадлежит A_n.

1. Операция  задана (произведение четных подстановок— четная подстановка);

2. Операция  – ассоциативна;

3. Тождественная подстановка играет роль единицы;

4. Для любой подстановки из A_n существует обратная подстановка (она тоже четная).

A_n — знакопеременная группа степени n.

Простейшие свойства групп

1. В группе существует единственный нейтральный элемент (существует по определению, по теореме 1 из §1 единственный);

2. в группе для каждого элемента существует единственный симметричный ему элемент(существует по определению, по теореме 3 из § 1 единственный);

3. Пусть Г — группа с операцией , тогда уравнения вида :

ax=b и xa=b (1) — разрешимы и имеют единственное решение.

Доказательство. Рассмотрим уравнения (1) относительно x. Очевидно, что для а  а'. Так как операция  — ассоциативна, то очевидно x=ba' — единственное решение.

§3 Подгруппа

Определение. Пусть Г — группа c операцией  и не пустое подмножество HГ, тогда H называют подгруппой группы Г, если H —группа относительно индуцированной операции ,т.е. выполняются условия:

1) H устойчиво относительно индуцированной операции ;

2) В H должен быть нейтральный элемент относительно индуцированной операции ;

3) В H должен быть симметричный элемент относительно индуцированной операции  для любого hH.

Запись H  Г означает, что H — подгруппа группы Г.

Примеры.

1) Г = (Z,+), H = {2Z,+}В этом случае обозначается H<Г.

2) SL(n,P) < GL(n,P).

Теорема (критерий подгруппы). Пусть Г — группа относительно операции, HГ. H является подгруппой тогда и только тогда, когда h₁,h₂H выполняется условие h₁h₂'H (где h₂' — симметричный элемент к h₂).

Доказательство. Необходимость: Пусть H — подгруппа (нужно доказать, что h₁h₂'H). Возьмем h₁,h₂H, тогда h₂'H и h₁h'₂H (так как h'₂ — симметричный элемент к h₂).

Достаточность: (надо доказать, что H — подгруппа).

Раз H , то там есть хотя бы один элемент. Возьмем hH, n=hh'H, т.е. нейтральный элемент nH. В качестве h₁ берем n, а в качестве h₂ возьмём h тогда h'H   hH симметричный элемент к h также принадлежит H.

Докажем, что композиция любых элементов из Н принадлежит Н.

Возьмём h₁ , а в качестве h₂ возьмём h'₂  h₁(h₂') ' H,  h₁h₂ H.

Пример.

Г=S_n, n>2, α — некоторый элемент из Х={1,…,n}. В качестве H возьмём не пустое множество H= S^α_n ={f S_n ,f(α)=α}, при действии отображения из S_n α остаётся на месте. Проверяем по критерию. Возьмём любые h₁,h₂H. Произведение h₁^.h₂'H, т.е H — подгруппа, которая называется стационарной подгруппой элемента α.