§6 Корни многочлена.

Пусть f(x) — некоторый многочлен над фиксированным полем P. f(x)=a_nxⁿ+…+a₀P[x]. И пусть c — некоторое число (не обязательно из P). Если мы подставим вместо x число c, то получим f(c) = a_ncⁿ+…+a₀ — значение многочлена при x = c. Если f(x)=g(x), то f(c)=g(c).

Определение 1. Если f(c)=0, то с называют корнем многочлена f(x) или корнем уравнения f(х)=0.

Разделим с остатком f(x) на (x-c): f(x)=(x-c)q(x)+r(x), где r(x)=0 и r(x)=a, a0, то есть r(x) в любом случае число.

Следующая теорема позволяет найти остаток от деления f(x) на многочлен (x-a) не выполняя самого деления.

Теорема (Безу). Остаток от деления многочлена f(x) на многочлен (x-a) равен значению этого многочлена при x=a.

Упражнение. Привести доказательство.

Следствие. А является корнем f(X) тогда и только тогда,когда (X-а) делит f(X).

◄ f(a)=0 (т.к. а-корень). Значит по теореме Безу (x-a) делит

f(x)  f(x)=(x-a)f₁(x). Очевидно f(a)=0.►

Это позволяет свести нахождение всех корней многочлена к нахождению делителя первой степени. Это можно сделать при помощи схемы Горнера.

Схема Горнера:

Пусть f(x)= a₀ x ⁿ +…+a_n. Разделим многочлен f(x) на x-:

f(x)=(x- ) f ₁(x)+r (1)

где

f₁ (x)=b₀ x^n-1+…+b_n-1.

Сравним коэффициенты при одинаковых степенях в равенстве (1):

xⁿ : a₀=b₀

x^n-1 : a₁=b₁- b₀

x^n-2 : a₂=b₂- b₁

…

x: a_n = r - b_n-1.

Отсюда имеем:

b₀=a₀

b₁=a_{1 +}  b₀

b₂=a₂₊  b₁ (2)

… …

r= a_n + b_n-1.

Для запоминания вычисления коэффициентов применяют схему Горнера. Делают таблицу следующего вида:

	…
	…………….

В первой строке этой таблицы выписывают один за другим все коэффициенты f(x), а во второе слева — элемент . Коэффициенты частного f₁(x) и остаток записывают последовательно во второй строке, согласно равенствам (2).

§7. Основная теорема алгебры комплексных чисел (Гаусса).

Теорема. Всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которого больше либо равна единице, имеет хотя бы один корень в поле комплексных чисел.

Эту теорему мы доказывать не будем.

Следствие 1. Многочлен f(x) с любыми числовыми коэффициентами разлагается на линейные множители вида x-α над полем комплексных чисел, причем такое разложение однозначно с точностью до порядка следования сомножителей.

◄ Применяя теорему, получим:

f(x) = (x-α₁) f₁(x) = (x-α₁) (x-α₂) f₂(x)=…=a(x-α_i), a — коэффициент при старшей степени; П — произведение.►

Замечание 1. Это следствие решает задачу о разложении многочлена) на неприводимые множители над полем комплексных чисел.

Cледствие 2: Пусть f(x) — многочлен над полем вещественных чисел f(x) R [x]; α C (комплексное число). Если α — корень f(x), то и — корень f(x). Если α — корень кратности k, то и — корень кратности k ( α называют корнем кратности k многочлена, если f(x) можно представить в виде:

, где .

Доказательство. Пусть

f(x) =a_n xⁿ +…a₀ R[x], тогда

………………..

f(α)=a_nαⁿ+a_n-1 α^n-1+…+a₀ =0

_ _

Отсюда следует, что

a_n()ⁿ + a_n-1()^n-1 +…+ a₀.

Пусть α — корень кратности k (α — комплексное число, ), т.е. , — корень какой-то кратности , т.е.

f(x) = (x-)^l f₂(x).

Докажем, что k=l.

Будем доказывать от противного, т.е. полагаем , например, . Заметим, что α — корень f₂(x), причем α — корень кратности k. Положим

p(x)=(x-α) (x-)=x² + px +q R [x]. Имеем

f(x)= (x-α)^l(x-α)^l q(x) = (x²+px+q)^l q(x).

Отсюда следует, что q(x) — многочлен с действительными коэффициентами и q(α) = 0, ибо мы предположили, что k>l. Отсюда сразу же следует, что q()=0. А это противоречит тому, что — корень кратности l. Пришли к противоречию. Оно возникло из предположения, что k>l. Аналогично получим противоречие, если предположим, что k<l.►

Следствие 3: Пусть f(x)R[x] многочлен с действительными коэффициентами, f(x) можно представить в виде произведения его старшего коэффициента, линейных множителей вида (x-α), где α соответствует действительным корням многочлена, и множителей вида x²+px+q, соответствующих парам комплексно-сопряженных корней.

◄Cогласно следствию 1 f(x) можно представить в виде:

f(x) = a (x-α₁)…(x-α_k)(x-α_k+1)(x-α_k+1)…

Сначала запишем множители, соответствующие действительным корням, потом — множители, соответствующие парам комплексно-сопряженных корней.

Легко заметить, что многочлен (x-α_k+1)(x-_k+1)=x²+p₁x+q₁R[x] с действительными коэффициентами и так для каждой пары комплексно-сопряженных корней.

Замечание 2. Следствие 3 решает задачу о разложении на неприводимые над полем действительных чисел.