Алгоритм Евклида: Пусть f(X) и g(X) — два многочлена над полем р.

f(x) , g(x) P[x] ; g(x)0. Тогда можно разделить с остатком f(x) на g(x).

f(x)=g(x)q(x)+r(x) , если r(x) 0, степень r(x)<степени g(x).

Разделим g(x) на r(x) с остатком g(x)=r(x)q₁(x)+r₁(x), если r₁(x) 0 степень r₁ < степени r.

Разделим r(x) на r₁(x) и т.д.

Так как степени остатков все время убывают, то на каком-то шаге остаток r_k+1(x)=0.

f(x)=g(x)q(x)+r(x) ; r(x) 0

g(x)=r(x)q₁(x)+r₁(x) ; r₁(x) 0 ; cт. r₁ < ст. r

(4) r(x)=r₁(x)q₂(x)+r₂(x)

…………………..

r_k-1(x)=r_k(x)q_k+1(x)+r_k+1(x), r_k+1(x)=0.

Процесс последовательного получения равенств (4) называют алгоритмом Евклида для многочленов f(x) и g(x). Последний отличный от нуля остаток — r_k.

§ 3. Наибольший общий делитель многочленов (нод)

Определение 1. Пусть f₁(x), … , f_k(x)P[x] и f_i(x)0 (ненулевой набор многочленов). Если многочлен d(x) P[x] такой, что:

1) старший коэффициент d(x) равен 1.

2) d(x) / f_i(x) i=1,…,k

3) если h(x) P[x] обладает свойством h(x) / f_i(x) i , то h(x) / d(x), тогда d(x) называют НОД многочленов f₁ ,…, f_k

Обозначим НОД многочленов f₁ ,…, f_k через ( f₁ ,…, f_k).

Выясним вопрос существования, однозначности и нахождения Н.О.Д.

Лемма 1: Пусть f₁(x), … , f_k(x)P[x],

М={ f₁₁+…+ f_kk | ₁,…,_k P[x] } — подмножество P[x]. f, g M ; u, v P[x] => fu+gv M.

◄ f=f₁₁+…+ f_kk

g = f₁+… +f_k

fu+gv= f₁(₁u+v)+…+ f_k(_ku+v) очевидно из М.►

Теорема 1. ( о существовании нод)

Пусть f₁(x), … , f_k(x)P[x] — некоторые многочлены, среди них есть ненулевой. Тогда многочлен наименьшей степени из М, взятый со старшим коэффициентом 1, является наибольшим общим делителем этих многочленов.

◄Сразу же заметим, что в М есть ненулевой многочлен — f_i(x). Докажем, что все f_i(x) r=1,…,k в множестве М. По определению М

f₁₁+…+ f_kkМ, если

₁=1 ; ₂=…=_k=0 ; => f₁M и т.д.

Очевидно также, что в М есть многочлены со старшим коэффициентом 1 (см. Лемму1):

, если .

Среди многочленов со старшим коэффициентом 1 выберем многочлен наименьшей степени. Обозначим его через d(x) и докажем, что это НОД. Во-первых, он со старшим коэффициентом 1 (мы его так выбрали). Во-вторых, d(x) / f_i(x) i. (1)

Докажем (1). Допустим, что i d(x) ∤ f_i(x) , т.е d(x) не делит f_i(x). Разделим с остатком f_i (x) на d (x): f_i(x)=d(x)q(x)+r(x). Выразим r(x):

M r(x)= f_i(x)+d(x)(-q(x)). Согласно Лемме о делении с остатком ст.r < ст.d(x).

Если старший коэффициент r(x) равен 1, то сразу же имеем противоречие с выбором d, если же старший коэффициент не равен 1, сделаем, чтобы он стал равен 1:

(согласно Лемме 1)

Опять пришли к противоречию.

Докажем условие 3) в определении НОД.

Пусть h(x) | f_i(x) i d(x)= f₁₁+…+ f_kk M h(x) | d(x) (h(x) делит каждое из слагаемых, значит он делит сумму).►

!Следствие (основное свойство НОД):

Наибольший общий делитель ненулевого набора многочленов представляется в виде: ,где .

Это следует из способа доказательства теоремы о существовании НОД, ибо НОД –элемент из М.

Упражнение: Пусть такие, что deg u<deg g, deg v<deg f.