Приложение 2

Постановка задачи оценки параметров

В общем виде задача оценки (измерения) параметров сигнала при приеме на фоне помех может быть сформулирована следующим обра­зом. Пусть в течение фиксированного интервала времени наблюдается (принимается) некоторая реализация случайного процесса , являющаяся детерминированной скалярной функцией от полезного сигнала и помехи (помех) n(t).

Полезный сигнал s(t, 1, q) является детерминированной функцией [1] своих аргументов и в общем случае содержит кроме фиксированного числа известных параметров р неизвестных параметров , подлежащих оценке, и (д. неизвестных параметров , которые не интересуют наблюдателя и в оценке которых нет необхо­димости. В дальнейшем первый класс неизвестных параметров будем называть оцениваемыми (существенными) параметрами, а второй класс неизвестных параметров — сопровождающими (несущественными, ме­шающими или паразитными). Одним из основных условий задачи оцен­ки параметров сигнала является требование независимости оценивае­мых (существенных) параметров от времени в течение интервала прие­ма [0, Т],

Дальше, как правило, будем полагать, что оцениваемый многомер­ный параметр 1 является непрерывной векторной случайной величиной в некотором заданном интервале ее возможных значений.

На основе наблюдения и анализа принятой реализации x(t) необ­ходимо решить, какие значения (из заданного интервала возможных значений) принимают интересующие наблюдателя параметры в этой реализации. Другими словами, на основе обработки наблюдаемой реализации x(t) необходимо произвести измерение, т. е. выработать оценку искомого многомерного параметра l.

Оценка параметра сигнала - это некоторая определенным образом выбранная система функций (или одна функция) от наблюдаемых дан­ных x(t). Значения этих функций при фиксированной реализации х(t) оценивают (т. е. определяют заданным способом) неизвестные пара­метры сигнала.

Естественно полагать, что используемые для получения оценки ме­тоды при их многократном применении в большинстве случаев приведут к правильному заключению о значении оцениваемых параметров.

В зависимости от требований, предъявляемых к процессу оценки и к самим оценкам параметров, возможны разнообразные методы оце­нивания. При этом каждая оценка характеризуется своим показателем качества, который в большинстве случаев указывает меру близости оценки к истинному значению оцениваемого параметра. Показатель качества оценки, в свою очередь, определяется выбором критерия ка­чества оценки или сокращенно критерия оценки. Поэтому, прежде чем построить оценку, нужно выбрать критерий оценки.

Выбор критерия оценки зависит от конечной задачи, для которой используется оценка параметра сигнала. В связи с тем, что эти задачи могут значительно отличаться, не может быть единого критерия оценки и единственной оценки для данного параметра сигнала. В частности, это обстоятельство затрудняет сравнение различных оценок. Ясно, что сравнение различных оценок возможно лишь при использовании одного и того же критерия оценки.

Во многих практических приложениях [1] критерии оценок могут быть получены на основе интуитивных представлений о целевом назначении оценки. Вместе с тем значительный интерес представляет разработка, формального подхода к выбору тех пли иных критериев, поскольку именно такой подход позволяет яснее понять сущность и особенности проблемы оценок параметров сигналов, а главное, дает возможность более объективно подойти к задаче обоснованного выбора критерия оценки. Термин «оценка», как это принято, имеет два значения. Во-первых, он исполь­зуется для обозначения процесса или алгоритма измерения неизвестного параметра сиг­нала, и, во-вторых, оценкой называют измеренное значение неизвестного параметра. Однако такая ситуация в терминологии не приводит к непониманию, поскольку обычно смысл, в котором употребляется термин «оценка», ясен из контекста.

Из-за наличия помех и конечного времени наблюдения сигнала лю­бой оценке (т. е. алгоритму измерения неизвестного параметра или правилу решения) присущи ошибки, определяемые как критерием ка­чества оценки, так и условиями, при которых происходит процесс оцен­ки. Поэтому задача оптимальной оценки параметра 1 состоит в том, чтобы найти такой алгоритм определения (оценки) параметра l, при котором для заданного критерия оценки эти ошибки решения (оценки) были бы минимальными. Требование малости ошибок в общем случае не имеет однозначного смысла. Однако если задан критерий оценки, то нашего основе формируется показатель качества оценки, зависящий от ошибок, и задача получения оптимальной оценки сводится к нахожде­нию процедуры решения (алгоритма получения оценки), которая мини­мизирует (или максимизирует) этот показатель качества. Другими словами, задача построения оптимальных (в соответствии с заранее выбранными критериями) оценивающих устройств (приемных и решаю­щих) состоит в том, чтобы, оперируя определенным образом над при­нятыми данными x(t), получить как можно большую (в заданном смысле) информацию об интересующих наблюдателя параметрах сиг­нала.

Интуитивно ясно, что оценка параметра l должна быть близка в некотором смысле к истинному значению оцениваемого параметра, причем оптимальная оценка в соответствии с выбранным критерием' должна минимизировать эту меру близости.

Для упрощения записи и рассуждений в дальнейшем будем пола­гать, что. неизвестным параметром сигнала является один существенный параметр хотя выводы, которые будут сделаны, останутся справед­ливыми (с очевидными изменениями) для совместной оценки несколь­ких параметров.

Для оценки одного параметра естественно получить одну функцию от наблюдаемой реализации, причем эта функция должна обладать некоторыми хорошими свойствами. В общем случае оценка неизвест­ного параметра будет функцией от функции, т. е. будет являться функционалом.

Очевидно, чем более полными знаниями располагает наблюдатель о характеристиках сигнала и помех, о способе комбинирования сигнала и помехи в принимаемой реализации x(t), о возможных значениях оце­ниваемых и сопровождающих параметров сигнала, тем легче и опре­деленнее будет решаться задача синтеза устройства, обеспечивающего (в соответствии с заданным или выбранным критерием) минимальные ошибки оценки интересующего нас параметра сигнала.

По существу поставленной задачи оцениваемый параметр является для наблюдателя случайной величиной. В такой ситуации наиболее полные сведения о возможных значениях параметра l даются апосте­риорной (послеопытной) плотностью вероятности , которая является условной плотностью вероятности параметра / при условии, что принята данная реализация x(t).

Выражение для апостериорной плотности вероятности может быть получено из теоремы об условных вероятностях двух величин l и X, где под понимается многомерная (-мерная) выборка из

реализации x(t) па интервале времени [0, Т]. Согласно теореме об условных вероятностях , имеем [1]:

.

Здесь — априорная (доопытная) плотность вероятности оцениваемого параметра l; W(X) - плотность вероятности многомерной выборки X из реализации x(t).

Плотность вероятности W(X) не зависит от текущего значения оце­ниваемого параметра l и может быть найдена из условия нормировки плотности вероятности W_ps(l):

Здесь и всюду далее интегрирование выполняется по априорной об­ласти L всех возможных значений оцениваемого параметра I.

Выражение для апостериорной плотности вероятности можно записать как

Условная плотность вероятности выборки наблюдаемых данных X (при условии, что оцениваемый параметр имеет значение l) , рассматриваемая как функция от l, называется

7 функцией правдоподобия. Эта функция при фиксированной выборке X показывает, насколько одно возможное значение параметра / «более правдоподобно», чем другое.

Функция правдоподобия играет весьма важную роль в задачах оптимального приема. Однако если для получения опенки используется не выборка наблюдаемых данных X (дискретная обработка), а сама принятая реализация x(t) (непрерывная обработка), то использование функции правдоподобия приводит к ряду трудностей математического характера. Избежать их можно, вводя отношение правдоподобия:

где — плотность вероятности выборки наблюдаемых данных при отсутствии сигнала.

Применительно к анализу непрерывной реализации на интервале [0, Т], введено понятие функционала отношения правдоподобия:

где интервал между выборками, причем число выборок рав­но целой части дроби .

Если полезный сигнал содержит несколько векторных параметров, например 1 и q, то отношение правдоподобия двух векторных пара­метров запишется в виде:

При оценке одного векторного параметра 1 отношение правдоподобия может быть найдено из отношения правдоподобия , если известно априорное распределение параметра q. Представим априорную плотность вероятности параметров l и q в виде:

Тогда для функции правдоподобия параметра 1 можно записать [1]:

Подставляя последнее соотношение в (1.1.5), имеем:

Если параметры 1 и q независимы, то:

Итак, если известно отношение правдоподобия для двух параметров и необходимо найти отношение правдоподобия для одного из них, надо отношение правдоподобия для двух параметров усреднить по априор­ному распределению (условному или безусловному) второго параметра.

С помощью введенных обозначений выражение для апостериорной плотности вероятности можно записать в виде:

где g - нормирующий коэффициент, не зависящий от параметра l:

Приемное устройство, образующее на своем выходе апостериорное распределение оцениваемого параметра, принято называть оптимальным приемником. Оптимальный приемник не производит оценки. То или иное решение относительно значения оцениваемого пара­метра выносит наблюдатель или дополнительное решающее устройство на основе анализа апостериорного распределения.

Следует отметить, что апостериорная плотность вероятности оце­ниваемого параметра W_ps(l) и отношение правдоподобия являются случайными функциями, зависящими от принятой реализации.

В теории статистических оценок используют два вида оценок: ин­тервальные (доверительные) и оценки в точке.

При интервальных (доверительных) оценках необходимо указать интервал, в котором с вероятностью, не меньшей заданной, содержится истинное значение неизвестного параметра. Эта заданная вероятность называется коэффициентом доверия, а указанный интервал возможных значений оцениваемого параметра — доверительным интервалом. Верх­няя и нижняя границы доверительного интервала, которые называются доверительными пределами, и сам доверительный интервал являются функциями (при дискретной обработке) или функционалами (при не­прерывной обработке) наблюдаемой реализации x(t).

Теория интервальных оценок достаточно хорошо разработана и нашла практическое применение при оценке параметров функций рас­пределения стационарных случайных процессов. Построение интерваль­ных оценок параметров сигналов (радиосигналов) при наличии помех в общем случае наталкивается на серьезные трудности принципиально­го характера. В связи с этим в настоящее время отсутствует какая-либо приемлемая для практических приложений методика нахождения ин­тервальных оценок параметров сигналов при приеме их на фоне помех, хотя для большого класса практических задач они представляют не­сомненный интерес.

При оценке в точке (точечной оценке) неизвестному параметру приписывают одно значение параметра из интервала возможных его значений, т. е. на основе анализа принятой реализации x(t) выраба­тывается некоторая величина, которую используют в качестве истин­ного значения параметра. Применительно к оценке параметров сигналов на фойе помех точечные оценки обладают целым рядом полезных свойств, которые обусловили их широкое практическое применение в большом числе задач статистической радиофизики, радиотехники, тех­нической кибернетики и др.

Кроме рассматриваемого метода оценки параметра сигнала, осно­ванного на анализе реализации смеси сигнала и помехи x(t) за фикси­рованное время, существует последовательный метод оценивания. Сущность этого метода состоит в использовании аппарата последовательного статистического анализа для оценки параметров сигнала. Основная идея последовательного оценивания состоит в том, что производится достаточно обоснованный выбор времени анализа реализации , при котором можно получить оценку параметра с заданной достоверностью. Для точечной оценки достоверностью может являться среднеквадратичное отклонение оценки или же другая, более подходящая функция, характеризующая отличие оценки от истинного значения параметра. С точки зрения интервального последовательного оценивания достоверность оценки может быть выражена через длину доверительного интервала с данным коэффициентом доверия.