1.6. Потік вектора магнітної індукції

Потоком вектора магнітної індукції, або магнітним потоком, крізь малу площадку називають фізичну величину, яка дорівнює добутку величини цієї площадки і проекції векторана напрямок нормалі до площадки

,

де - кут між векторами та (рис.1.11).

Інтегруючи цей вираз по, отримаємо

,

де - магнітний потік крізь довільну поверхню .

Якщо поле однорідне, а поверхняплоска і розташована перпенди-

Рис. 1.11 кулярно до поля, то і

. (1.17)

Формула (1.17) дає змогу встановити одиницю вимірювання магнітного потоку. У системі СІ одиницю магнітного потоку називають вебером (Вб):

.

Оскільки магнітні силові лінії замкнені, то очевидно, що потік вектора через замкнену поверхню дорівнює нулю. Адже магнітні силові лінії або зовсім не перетинають замкнену поверхню, або перетинають її парну кількість разів (рис.1.12). Тому аналогом теореми Гауса для магнітного поля є рівняння

. (1.18)

Скориставшись формулою Остроградського-Гаусса, на підставі (1.18) отримуємо:

.

Остання рівність виконується при будь-яких значеннях об’єму за умови, що

. (1.19)

Рис. 1.12 Для електростатичного поля напруженістю

, де - об’ємна густина електричного заряду, що створює електричне поле. Отже, співвідношення (1.19) свідчить про відсутність у природі магнітних зарядів як аналог електричних.

1.7. Циркуляція вектора магнітної індукції

За визначенням поняття циркуляції будь-якого вектора, циркуляція вектора по контуру визначається інтегралом

. (1.20)

Розглянемо найпростіший випадок магнітного поля нескінченного прямоліній- ного провідника зі струмом (рис.1.13), спрямованого перпендикулярно до площи- ни контуру інтегрування . У кожній точці контуру вектор спрямований по дотичній до кола радіуса , яка проходить через цю точку. Скалярний добуток ,

Рис. 1.13 де - проекція вектора на напрямок вектора . Оскільки , то на підставі (1.20), отримуємо

. (1.21)

Якщо контур не охоплює провідник зі струмом , то .

Якщо поле створюється кількістю провідників зі струмами і лише частина їх охоплюється контуром інтегрування, то циркуляція вектора визначається алгебраїчною сумою тільки тих сил струмів, які проходять по провідниках, що охоплюються контуром. За принципом суперпозиції . Отже

. (1.22)

Тут - сума всіх струмів з урахуванням їхніх напрямків, які охоплюються замкненим контуром інтегрування. Закон, який виражається рівностями (1.20) або (1.22), називають законом повного струму або теоремою про циркуляцію вектора індукції магнітного поля.

Якщо струми протікають через всю площу, охоплену контуром , то , де - густина струму, - проекція вектора на напрямок нормалі до елементу поверхні . Тоді рівності (1.22) можна надати вигляду

. (1.23)

Згідно з теоремою Стокса

. (1.24)

Враховуючи (1.22) та (1.24), знаходимо, що

.

Ця рівність виконується при будь-яких значеннях за умови, що

. (1.25)

Поле, у якого ротор не дорівнює нулю, називають вихровим.

Рівність (1.25) є диференціальною формою закону повного струму або основним диференціальним рівнянням стаціонарного магнітного поля.

Для електростатичного поля , . Співставляючи ці рівняння з рівняннями (1.19) та (1.25), знаходимо, що електростатичне поле є потенціальним, магнітне – вихровим.