Полиномы и интерполяция

В этом разделе мы ознакомимся с основными функциями MATLAB-а, которые дают возмож-ность осуществлять математические действия с полиномами и производить интерполяцию одно-, двух-, и многомерных данных.

Полиномы и действия над ними

Обзор полиномиальных функций
Функция	Описание
conv	Умножение полиномов.
deconv	Деление полиномов.
poly	Вычисление характеристического полинома матрицы или определение полинома с заданными корнями.
polyder	Вычисление производных от полиномов.
polyfit	Аппроксимация данных полиномом.
polyval	Вычисление значений полиномов в заданных точках.
polyvalm	Вычисление значений матричного полинома.
residue	Разложение на простые дроби (вычисление вычетов).
roots	Вычисление корней полинома.

Представление полиномов

MATLAB представляет полиномы как векторы-строки, содержащие коэффициенты полино-мов по убывающим степеням. Например, рассмотрим следующее уравнение

p(x) = x³ – 2x – 5

Это известный пример Валлиса (Wallis), использованный при первом представлении метода Ньютона во Французкой Академии. Мы будем использовать его в дальнейшем при рассмот-рении примеров использования различных функций. Для ввода данного полинома в MATLAB, следует записать

p = [1 0 -2 -5].

Корни полинома

Корни полинома вычисляются при помощи функци roots :

r = roots(p)

r =

2.0946

-1.0473 + 1.1359i

-1.0473 - 1.1359i

MATLAB запоминает вычисленные корни как вектор-столбец. Функция poly выполняет об-ратную роль, то есть по заданным корням полинома вычисляет значения его коэффициентов (обратите внимание на значение второго коэффициента, который в идеале равен нулю).

p2 = poly(r)

p2 =

1 8.8818e^-16 -2 -5

Функции poly и roots являются взаимно-обратными функциями, с точностью до упорядоче- ния коэффициентов, масштабирования и ошибок округления.

Характеристические полиномы

Функция poly вычисляет также коэффициенты характеристического полинома матрицы:

A = [1.2 3 -0.9; 5 1.75 6; 9 0 1];

Poly(a)

ans =

1.0000 -3.9500 -1.8500 -163.2750

Корни данного полинома, вычисленные при помощи функции roots, являются собственными значениями (характеристическими числами) матрицы А. (При практических расчетах, для вычисления собственных значений матриц целесообразно вычислять их посредством функ-ции eig.)

Вычисление значений полинома

Функция polyval вычисляет значение полинома в заданных точках. Для вычисления p в точ-ке s = 5, следует записать

Polyval(p,5)

ans =

110

Можно также вычислить значение матричного полинома. Так, вместо полинома Валлиса мо-жно записать:

p(X) = X³ - 2X – 5I

где X является квадратной матрицей, а I - единичной матрицей. Например, сформируем сле-дующую квадратную матрицу X

X = [2 4 5; -1 0 3; 7 1 5];

и вычислим значение заданного выше полинома p(X) на данной матрице.

Y = polyvalm(p, X)

Y =

377 179 439

111 81 136

490 253 639