Интеграл от матричной экспоненты eAtможно найти путем интегрирования бесконечного ряда (3.75)

откуда

Из последнего соотношения, предполагая, что матрица А – неособенная, получим

(3.80)

Матричный синус:

(3.81)

Матричный косинус:

(3.82)

Матричная комплексная экспонента в формулах (3.81) и (3.82) определяется уравнением (3.74) при замене А на jA:

(3.83)

Как легко видеть, формулы (3.81) – (3.83) являются матричными аналогиями формул Эйлера.

Матричный гиперболический синус:

Матричный гиперболический косинус:

Матричные тригонометрические тождества имеют соответствующие аналоги скалярных тригонометрических тождеств и выводятся с помощью вышеприведенных матричных соотношений.

Полезной при выводе ряда тригонометрических тождеств является действительная матрица (22), аналог скалярной мнимой единицы . Она определяется как

Видно, что J₀² = -E, J₀³ = -J₀, J₀⁴ = E и т.д.

3.6.3 Теорема Кэли – Гамильтона

Эта теорема касается весьма важного и полезного свойства характеристического полинома D() и используется при нахождении различных функций от матрицы А.

Теорема Кэли – Гамильтона. Всякая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению.

Доказательство. Воспользуемся соотношением (3.47) и представим его в виде

А = ММ^-1.

Для произвольной положительной степени р последнее соотношение представим в форме

А^Р = М^РМ^-1. (3.84)

Если N() – многочлен от  вида

N() = ⁿ + c₁^n-1 +…+ c_n-1 + c_n,

то согласно (3.84) многочлен от матрицы А равен

N(A) = Aⁿ + c₁A^n-1 +…+ c_n-1A + c_nE = M N()M ^-1 =

где_i – собственные значения А, то есть не нули многочлена N().

Если выбранный многочлен является характеристическим многочленом, то есть N() = D(), то N(₁) = N(₂) =…= N(_n) =0. Отсюда следует, что

D(A) = [0],

где D() = E - A - характеристический многочлен. Таким образом, теорема доказана для случая, когда все собственные значения _i различны. Однако можно показать, что теорема справедлива и для произвольной квадратной матрицы.

С помощью теоремы Кэли – Гамильтона можно понижать порядок многочленов, находить обратную матрицу, возводить матрицу в произвольную положительную целую степень, вычислять функции от матриц.

Действительно, решив матричное характеристическое уравнение D(A) = [0] относительно старшей степени матрицы А, получим формулу для вычисления Aⁿ через полином (n-1)-го порядка. Последовательно умножая правую и левую часть этой формулы на А, имеем итерационную процедуру для возведения А в произвольную степень.

Решив то же уравнение D(A) =[0] относительно низшей степени матрицы А (то есть относительно единичной матрицы) и умножив правую и левую часть на обратную матрицу А^-1, получим выражение для обратной матрицы через полином (n-1)-й степени от матрицы А. В некоторых случаях этот метод удобнее, чем другие методы.

Пусть имеется матричный многочлен N(A) степени большей, чем порядок А. Разделив N() на характеристический полином А, получим

(3.86)

где R() – остаточный член порядка меньшего, чем D(). Тогда, умножив уравнение (3.86) на D(), получим

N() = Q() D() + R(), (3.87)

Так как (согласно теореме Кэли – Гамильтона) D(A) = [0], то N(A) = R(A) и, таким образом, полином любой степени может быть представлен полиномом (n-1)-й степени.

Вышеизложенное можно распространить не только на любую полиномиальную функцию А, но и на произвольную функцию F(A), где F() предполагается аналитической функцией  в некоторой области. При таком условии F() может быть в области аналитичности представлена рядом Тейлора. Поэтому функция F(A) может быть записана в виде многочлена от А степени n-1. Действительно, если Q() – аналитическая функция в некоторой области, то

F() = Q()·D() + R(), (3.88)

где D() – характеристический полином А, а R() – полином вида

R() = ₀ + ₁ + ₂² +…+ _n-1^n-1. (3.89)

Коэффициенты _iв уравнении (3.89) можно найти путем последовательной подстановки₁, ₂ …_nв уравнение (3.88). Учитывая, чтоD(_i) = 0, получим систему уравнений

F(₁) = R(₁),

F(₂) = R(₂),

……

F(_n) = R(_n). (3.90)

В этой системе n уравнений и n неизвестных. Следовательно, все _i определяются однозначно. Нетрудно показать, что Q() является аналитической функцией в той же области, что и F(). Действительно, нули знаменателя Q() совпадают с нулями ее числителя:

поэтому уравнение (3.88) справедливо для всех  в области аналитичности F(). Из этого следует, что если область аналитичности F() включает все собственные значения А, то вместо переменной  можно подставить А. В результате из уравнения (3.88) получим

F(A) = Q(A)  D(A) + R(A),

а так как согласно теореме Кэли – Гамильтона D(A) = [0], то из последнего соотношения имеем

F(A) = R(A). (3.91)

Теперь что касается кратных собственных значений. Ясно, что если А имеет собственное значение _i кратности r, то подстановка _i в уравнение (3.88) даст лишь одно линейно независимое уравнение. Остальные r-1 линейных уравнений для определения _i находятся дифференцированием обеих частей уравнения (3.88). В этом случае для нахождения единственного решения для коэффициентов _i полинома (3.89) нужно составить систему линейных уравнений вида

(3.92)