109

Продифференцируем Q по переменной x_k:

В матричной записи это соотношение будет иметь вид:

(3.64)

где индекс k означает k-ю компоненту вектор – столбцов Ах и А^Тх. В случае симметрической матрицы А формула (3.64) принимает вид:

Дифференцирование по векторной переменной. Производная квадратичной формы по вектору х, называемая часто градиентом, получается в результате применения к квадратичной форме Q(x) оператора – вектора дифференцирования

(3.65)

В левой части выражения (3.65) приведены различные обозначения градиента, встречающиеся у разных авторов.

Так как Q(x) = х^ТАх, то

Учитывая формулу (3.64), последнее выражение можно переписать в виде

(3.66)

Для симметрической матрицы А будем иметь

grad_x Q(x) = 2Ax. (3.67)

Дифференцирование по времени. Если матрица А и переменные x₁, x₂, …x_n являются функциями времени, то производная по t от квадратичной формы Q(t) определяется выражением

Для симметрической матрицы А, с учетом соотношения (3.67), последнее выражение будет выглядеть

(3.68)

Если матрица А не зависит от времени, последнее слагаемое в (3.68) обращается в нуль и получаем

(3.69)

3.6 Матричные функции

3.6.1 Матричные ряды

Краткая запись произведения матриц A A … A может быть сделана в форме A^k, где k- число множителей, входящих в произведение. Как и возведение в степень скаляров, умножение степеней матриц подчиняется обычным правилам:

A^k  A^m = A^k+m,

(A^k) ^m = A^km,

A⁰ = E_n,

где E_n- единичная матрица порядка n.

Эти же правила справедливы и при возведении матрицы в отрицательную степень при условии, что матрица неособенная, т.е. существует обратная матрица.

Можно возводить матрицы и в дробную степень. Так, если A^m = B, где А- квадратная матрица, то А является корнем m-й степени В:

В отличие от скаляров, у которых имеется ровно m корней m-й степени, не существует общего правила определения, каким количеством корней m-й степени обладает матрица В. Это число корней зависит от конкретного вида матрицы.

Возьмем произвольный многочлен m-го порядка от скалярной переменной х

N(x) = p_mx^m + p_m-1x^m-1 +…+ p₀. (3.70)

Заменив в этом выражении х на квадратную матрицу А порядка n, получим соответствующий матричный многочлен

N(A) = p_mA^m + p_m-1A^m-1 +…+ p₁A + p₀E_n. (3.71)

Многочлен (3.70) можно, как известно, представить в виде произведения

N(x) = p_m (x - ₁) (x - ₂)…(x - _m),

где _i (i=1,2,…m) – корни многочлена, которые предполагаются различными. Подобным же образом можно представить и матричный многочлен

N(A) = p_m (A - ₁E) (A- ₂E)…(A - _nE). (3.72)

Обобщением ряда (3.70) будет бесконечный степенной ряд

Заменив переменную х в последнем выражении на квадратную матрицу А, получим бесконечный ряд по А

(3.73)

Вопросы сходимости матричных рядов затрагивать не будем, достаточно знать только, что ряд (3.73) сходится, если сходятся соответствующие скалярные ряды S(_i), i=1,2,…n, где _i – собственные значения матрицы А.

3.6.2 Функции от матриц

Разложение известных скалярных функций в степенные ряды дает основание для определения этих функций от матриц.

Матричная экспонента:

(3.74)

Ряды (3.74) сходятся равномерно и абсолютно. Поскольку произведение матриц в общем случае некоммутативно, равенство е^А  е^В = е^В е^А= е^А+В выполняется только если матрицы А и В коммутативны АВ = ВА. Последнее условие выполняется, если В=А или В = -А. В частности, при В = -А имеем

е^А  е^-А = е^А-А = Е,

откуда ясно, что матрица е^-А является обратной к матрице е^А.

Если А не зависит от времени, то матричная экспонента е^Аt определяется подобно уравнению (3.74) в форме бесконечного ряда

(3.75)

Этот ряд сходится равномерно и абсолютно для всех значений времени t. Производная по t от матричной экспоненты е^Аt находится почленным дифференцированием ряда (3.75)

(3.76)

Обобщая соотношение (3.76) для k-й производной с учетом обозначения получим

(3.77)

Если N(s) – многочлен от оператора дифференцирования s, то

N(s) e^At = N(A) e^At = e^At  N(A). (3.78)

Часто встречается случай воздействия операторного многочлена N(s) на произведение матриц e^At  B(t). В предположении, что существует произведение A B(t) и не существует B(t)  A, можно записать

В общем случае

N(s) [e^At  B(t)] = e^At  N(sE+A) B(t). (3.79)