Тогда получим

или для случая m - ой производной

Существуют и разностные формулы, аналогичные (но не идентичные) формулам дифференцирования.

Например:

∆(y(k) · x(k)) = ∆y(k) · ∆x(k) + y(k) · ∆x(k) + ∆y(k) ·x(k),

Дифференцирование многочленов аналогично вычислению разностей факториальных многочленов. Произвольный обыкновенный многочлен можно представить суммой факториальных многочленов. Факториальный многочлен m = го порядка определяется как

(k)^(m) = k(k-1)(k-2)…(k-m+1), (2.6)

где m – положительное целое число.

Согласно определению разностного оператора, имеем

∆(k)^(m) = m(k)^(m-1) = mk(k-1)…(k-m+2) . (2.7)

Найдем теперь обратный оператор, аналогичный интегральному оператору s ^-1, где

(2.8)

где с и K – постоянные интегрирования. Нижний предел t₀, вообще говоря, произвольный и определяется началом отсчета времени при анализе системы (обычно моментом поступления входного воздействия). Величина t₀ формирует часть постоянной интегрирования, именно:

Выражение

y(t) = s^-1(f(t))

является решением уравнения

s y(t) = f(t).

Соответственно, выполняется соотношение

s·s ^-1f(t) = f(t).

По аналогии обратный оператор ∆^-1 должен иметь такой вид, чтобы выражение

y(k) = ∆^-1f(k),

являлось решением уравнения

∆y(k) = f(k), (2.9)

или, чтобы удовлетворялось равенство

∆∆^-1f(k) = f(k). (2.10)

Так как

то обратный оператор, удовлетворяющий уравнениям (2.9) и (2.10), имеет вид:

(2.11)

Уравнение (2.11), определяющее обратный оператор, можно переписать так

(2.12)

где суммирование производится по фиктивный переменной n. Нижний предел в уравнении (2.12) не указан, так как можно объединить произвольное число членов f(0), f(1), f(2) … в уравнении (2.11) с постоянной суммирования K и образовать новую постоянную с. Таким образом, произвольный предел в уравнении (2.12) является аналогом постоянной t₀ в уравнении (2.8) и его выбор определяется наиболее выгодным образом для каждого конкретного случая.

В отличие от интегралов, точное вычисление которых требует определенного искусства , а иногда и невозможно, для операторов ∆^-1 таких сложностей не существует, однако вычисление ∆^-1f(k) непосредственно по формуле (2.12) довольно утомительно, особенно при больших k. Поэтому желательно выражать ∆^-1f(k) в замкнутом свернутом виде. Суммирование конечных рядов (как и вычисление интегралов) подчиняется определенным правилам. Существуют таблицы формул суммирования, правило суммирования по частям (аналог интегрированию по частям), используются многочлены Бернулли, разложение функций на простые дроби и т.д.

Но не всегда конечные суммы можно свернуть и выразить в замкнутой форме. В некоторых случаях можно пользоваться верхней и нижней оценкой таких сумм.

При использовании факториальных многочленов из уравнения (2.7) можно получить с учетом формулы (2.12)

Аналогами дифференциальных уравнений для дискретной переменной являются разностные уравнения или, как их еще называют, уравнения в конечных разностях.