1.6.5 Преобразование Лагерра

Преобразование Лагерра имеет вид

(n=0,1,2,…), (1.83)

где L_n(t)  многочлены Лаггера n- ого порядка, определяемые формулой

Обратное преобразование задается в форме бесконечного ряда

(1.84)

Преобразование Лагерра естественно применяется для решения дифференциального уравнения Лагерра

ℒx +nx =0,

где

ℒx(t) = tx"(t) + (1-t) x'(t).

Преобразование Лагерра сводит дифференциальную операцию ℒx к алгебраической по формуле

Tℒx(t) = - nx^*(n), (n=0,1,2,…).

Для преобразования Лагерра может быть определена свертка и построен аппарат операционного исчисления для операторов Лагерра ℒx.

2. Операторное описание дискретных по времени систем

Будем полагать в этом разделе, что функции r(t) и y(t), то есть входной и выходной сигнал системы, определены на счетном множестве моментов времени. Другими словами время течет дискретно, квантами через равные промежутки, обозначаемые в этом разделе буквой Т, то есть t = kT, где k  N₀. Для упрощения записи можно выбрать соответствующий масштаб по оси времени и положить Т=1, то есть считать r(k) и y(k) как функции, определенные только при целых значениях k.

1. Прямой и обратный разностные операторы

Определим оператор сдвига Е так:

Е{y(k)}=y(k+1) . (2.1)

Последовательное применение этого оператора дает в общем случае

Еⁿ{y(k)}=y(k+n) , (2.2)

где n  N₀.

Разностный оператор  можно определить как

y(k) = y(k+1) – y(k) . (2.3)

Оператор, определяемый формулой (2.3), называют еще правым разностным оператором, и он задает так называемую первую прямую разность функции y(k), в отличие от используемого иногда левого разностного оператора , определяемого выражением

 y(k) = y(k) – y(k-1)

и задающего первую обратную разность функции y(k).

Выражение (2.3) с учетом (2.1) можно записать в виде

y(k) = (E-1) y(k),

где операторы  и Е связаны соотношением

 = Е –1. (2.4)

Разности второго, третьего и более высокого порядков определяются по очевидным формулам:

²y(k) = ( y(k)) = y(k+2) – 2y(k+1) + y(k),

³y(k) = ( ²y(k)) = y(k+3) – 3y(k+2) + 3y(k+1)-y(k)

или, в общем случае,

(2.5)

где через обозначены биномиальные коэффициенты. С учетом уравнений (2.2) и (2.4) из выражения (2.5) получим

Операторы  и е являются линейными операторами, то есть справедливы следующие соотношения, например, для оператора :

(с y(k)) = c y(k),

^m(y(k)+x(k)) = ^m y(k) + ^mx(k),

ⁿ^my(k) = ^mⁿy(k) = ^n+my(k),

где с – константа, m и n – целые положительные числа.

Таким образом, оператор  для функций дискретного переменного является аналогом дифференциального оператора s = d/dt для непрерывных функций. Чтобы еще раз подчеркнуть эту аналогию, рассмотрим производную от непрерывной функции (t)

Если функцию (t) рассматривать только в дискретные моменты времени t =kT (kN₀), то оператор сдвига и разностный оператор дадут выражения

E(t) = (t+T) и Δ(t) = (t+T)- (t).