Дискретні випадкові величини

Випадкова величина називається дискретної, якщо в результаті випробування вона може прийняти значення з кінцевої або рахункової множини можливих числових значень.

Випадкові величини надалі будемо позначати більшими буквами:

X, Y, Z

Імовірнісний простір дискретної випадкової величини задається у вигляді:

, n - кінцеве або нескінченне.

Приклад:

Випробування - композиція n-незалежних випробувань, у кожному з яких відбувається подія A з імовірністю p, або з імовірністю 1-p.

Імовірнісний простір

У цьому прикладі ?-алгеброю є множина всіх підмножин простору елементарних подій. Уведену нами випадкову величину x по визначенню можна задати:

- верхній рядок - це сукупність можливих числових значень, які може приймати випадкова величина;

- нижній рядок - імовірність настання цих числових значень.

Практично у всіх задачах природознавства відсутній проміжний етап: випробування,  - простір всіх можливих ісходов випробування, - числова скалярна функція, елементи якої .

Насправді структура:

- випробування;

- результат випробування;

- число на числовій осі.

Імовірнісні характеристики дискретних випадкових величин.

Математичним очікуванням випадкової величини X називається число виду

x_i - всі можливі різні конкретні ісходы випробування;

p_i - імовірності їхнього настання.

Математичне очікування є як би аналогом центра мас крапкової механічної системи:

Як центр мас:

Зміст характеристики мат.очікування полягає в наступному: це крапка на числовій осі, щодо якої групуються результати конкретних випробувань над дискретною випадковою величиною.

Безперервні випадкові величини.

Будемо розглядати простір елементарних подій як сукупність всіх крапок числової осі. У цьому випадку уведена раніше функція розподілу має вигляд: .

Нехай функція розподілу є безперервною. Знайдемо ймовірність того, що в результаті випробувань випадкова величина X прийме значення a, де a - довільне дійсне число.

P(X=a).

Розглянемо нерівність:

Довести самим.

Отже:

Ми вперше зштовхнулися із ситуацією, коли подія принципово може відбутися в результаті випробування, але має ймовірність рівну 0 . В інженерному тлумаченні це означає: у даній кінцевій серії випробувань дана подія ніколи не відбудеться.

Випадкова величина X називається безперервної, якщо її простором елементарних подій є вся числова вісь (або відрізок (відрізки) числової осі), а ймовірність настання будь-якої елементарної події дорівнює нулю.

P(a(X<b)=P(a(X(b)=F(b)-F(a)

Якщо від складної події відняти кінцева або рахункова множина, імовірність настання нової події залишиться незмінної.

Функція f(x) - числова скалярна функція дійсного аргументу x називається щільністю ймовірності, і існує в крапці x, якщо в цій крапці існує межа:

Завдання для самоперевірки:

1. Випадкова величина

2. Теорема Колмогорова

3. Дискретні випадкові величини

4. Імовірнісні характеристики випадкових величин

5. Безперервні випадкові величини

Література:

1. В.М. Лейфура, Г.І. Городницький, Й.І. Фауст «Математика» стр.612-618

Додаткова література:

1. А.Д. Мышкис «Лекции по высшей математике» стр.588-594

2. В.Е. Гурман «Теория вероятности и математическая статистика» стр.57-67