Розділ: «Інтеграл» Лекція
Тема: Наближене обчислення визначеного інтеграла
Ціль: Розглянути основні алгоритми й формули для наближеного обчислення визначених інтегралів
Наближене обчислення визначених інтегралів. У випадку, коли первісна подінтегральної функції відома, наприклад, є елементарною функцією, визначений інтеграл обчислюють по формулі Ньютона-Лейбница. Однак часто виникає ситуація, коли первісна або не виражається у вигляді елементарної функції, або вираження для первісної виходить занадто складним. У цих випадках застосовують наближені формули обчислення певних інтегралів. Основний принцип побудови цих формул складається в заміні подінтегральної функції на функцію більше простого виду, наприклад, багаточлен, інтеграл від якого знаходять безпосередньо по формулі Ньютона-Лейбница.
Досить
простій і в той же час широко застосовуваної
є формула
Симпсона,
або формула
парабол.
В основі формули Симпсона лежить заміна
двох сусідніх часткових криволінійних
трапецій, обмежених зверху функцією
(мал. 1), на криволінійну трапецію, обмежену
зверху параболою виду
.
|
у
О х0=а х2i х2i+1 х2i+2 b=х2n х Рис. 1 |
При цьому
відрізок
|
розбивається на 2п
рівних частин, тоді крива
розіб'ється прямими
на 2п
відповідних частин точками
.
Через кожну
трійку точок, починаючи з М0,
проводять параболу. Коефіцієнти А,
У
и С
для кожної параболи знаходять із умови
її проходження через відповідну трійку
точок. Таким чином, криволінійна трапеція,
обмежена зверху функцією
,
заміняється складеною фігурою, обмеженої
зверху п
параболами. У результаті виходить
формула Симпсона наближеного обчислення
визначеного інтеграла
,
де
– значення функції
в i-ом
вузлі.
Погрішність обчислень по формулі Симпсона оцінюється як
,
де М
– найбільше значення модуля четвертої
похідної даної
функції на
відрізку
.
.
Література:
-
«Высшая математика для экономистов» под редакцией Н.Ш. Кремера стр.307-310
-
М.І. Шкіль «Математичний аналіз» стр. 386-397
Додаткова література:
-
А.Д. Мышкис «Лекции по высшей математике» стр.369-374
Розділ: «Інтеграл» Лекція
Тема: Невласні інтеграли
Ціль: Розглянути правила обчислення невласних інтегралів
Невласні інтеграли
При розгляді визначеного інтеграла як межі інтегральних сум передбачалося, що відрізок інтегрування кінцевий, а подінтегральная функція обмежена на цьому відрізку. У противному випадку визначення визначеного інтеграла не має змісту: не можна розбити нескінченний інтервал на кінцеве число відрізків кінцевої довжини; при необмеженій функції інтегральна сума не має межі. Проте, можливі випадки, коли зазначені вище умови не виконуються, але визначений інтеграл існує. Відповідні інтеграли називаються невласними. Розрізняють два випадки: проміжок інтегрування нескінченний або подінтегральная функція не обмежена.
Інтеграли
з нескінченними межами інтегрування.
Нехай проміжком інтегрування є промінь
і нехай існує визначений інтеграл
.
Межа цього інтеграла при
називається невласним
інтегралом I роду
й позначається
.
Якщо ця межа
існує й кінцевий, говорять, що невласний
інтеграл сходиться,
а функцію
називають інтегрувальною на нескінченному
проміжку
;
якщо ж межа не існує або нескінченний,
то говорять, що невласний інтеграл
розходиться.
Аналогічним
образом уводяться поняття невласних
інтегралів по проміжках
і
.
Інтеграли
від необмежених функцій.
Нехай функція
визначена на проміжку
.
Точку
називають
особою,
якщо функція необмежена в будь-якій
околиці цієї точки, але обмежена на
будь-якому відрізку, укладеному в
проміжку
(мал. 1).
|
в
О а b x Рис. 1 |
Думаючи,
що функція
|
інтегрувальна на відрізку
,
де
,
межа
інтеграла
при
називають невласним
інтегралом II роду
й позначають
.
Якщо ця межа
кінцева, то говорять, що інтеграл існує
або сходиться,
а функцію
називають інтегрувальною
на проміжку
;
якщо ж межа не існує або нескінченний,
то говорять, що інтеграл розходиться.
Аналогічно,
якщо особливою точкою є крапка
,
те невласний інтеграл II роду визначається
як
.
Література:
-
«Высшая математика для экономистов» под редакцией Н.Ш. Кремера стр.302-307
-
М.І. Шкіль «Математичний аналіз» стр. 374-386
Додаткова література:
-
А.Д. Мышкис «Лекции по высшей математике» стр.374-390
-
Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» том 1 стр. 511-522