Розділ: «Інтеграл» Лекція

Тема: Поняття первісної. Невизначений інтеграл, його властивості. Інтеграли від елементарних функцій.

Ціль: Розглянути поняття невизначеного інтеграла

План: 1. Первісна функція

2. Властивості невизначеного інтеграла

3. Інтеграли від елементарних функцій

Первісна функція й невизначений інтеграл.

Властивості невизначеного інтеграла

Часто виникає задача, зворотна тої, котра вирішувалася в диференціальному вирахуванні, а саме: дана функція , знайти функцію , таку, що .

Функція називається первісної для даної функції на деякому проміжку Х, якщо для кожного виконується рівність

.

Наприклад, нехай , тоді за первісну можна взяти , оскільки .

В основі інтегрального вирахування лежить теорема про загальний вид первісної: якщо – первісна для функції на проміжку Х, те всі первісні для функції мають вигляд , де З – довільна постійна.

Вираження виду описує всі первісні для функції . Дійсно, для будь-який постійної С

.

Нехай поряд з даної первісної функція – також первісна для . Тоді повинні виконуватися рівності

,

звідки . Отже, різниця цих первісних буде тотожно дорівнює константі або .

Дія знаходження первісної називається інтегруванням функції.

Доведена теорема дозволяє ввести основне поняття інтегрального вирахування: якщо – первісна для , те сукупність функцій , де С – довільна постійна, називається невизначеним інтегралом від функції , що позначається в такий спосіб

.

Геометрично невизначений інтеграл являє собою сімейство плоских кривих , називаних інтегральними.

Для того, щоб перевірити, чи правильно виконане інтегрування, треба взяти похідну від результату й переконатися, що отримано подінтегральну функцію . Як усяка зворотна операція, інтегрування - більше складна дія, чим диференціювання.

Приведемо основні властивості невизначеного інтеграла:

1. похідна невизначеного інтеграла дорівнює подінтегральній функції

;

2. невизначений інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює сумі інтегралів від функцій, що складаються

;

3. постійний множник можна виносити за знак невизначеного інтеграла

.

Значення інтегралів від основних елементарних функцій виходять із формул диференціювання цих функцій. Приведемо таблицю основних інтегралів:

1) ;	7) ;
2) ;	8) ;
3) ;	9) ;
4) ;	10)
5) ;	11) ;
6) ;	12) .

Інтеграли, що містяться в цій таблиці, називаються табличними.

Завдання для самоперевірки:

1. Поняття первісної і її властивості.

2. Табличне інтегрування

3. Знайти невизначені інтеграли:

,

Література:

1. «Высшая математика для экономистов» под редакцией Н.Ш. Кремера стр.247-249

2. М.І. Шкіль «Математичний аналіз» стр. 280-286

3. В.М. Лейфура, Г.І. Городницький, Й.І. Фауст «Математика» стр.491-495