3

Типовой расчет №2

Векторная алгебра и аналитическая геометрия.

Типовые примеры.

Задание 1.

Коллинеарны ли векторы , построенные по векторам

={4; 0; 4}, {-1; 3; 2}

Решение: При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число

Найдем координаты векторов , , , .

,= {12; 0; 12}

={-9; 27; 18}

={8; 0; 8}

={1; -3;-2}

При сложении векторов их координаты складываются Таким образом, получим

Два вектора коллинеарны в том и только том случае, когда один из них может быть получен

умножением другого на некоторое число:

Векторное равенство

равносильно трем числовым

или

, следовательно, векторы неколлинеарны

Задание 2

Найти косинус угла между векторами , если заданы координат точек

Решение

Косинус угламежду векторами определяется формулой

где -скалярное произведение векторов

-длины векторов

Найдем координаты векторов

Тогда

Задание 3

Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках

и его высоту, опущенную из вершины на

Решение: известно, что

V_тетр =

Находим:

Так как

то V= куб.ед.

С другой стороны, объем тетраэдра равен V=H, где

-площадь грани ,

H-длина высоты, опущенной из вершины на грань

=Находим

Окончательно имеем:

=кв.ед.

Задание 4.

Структурная матрица торговли трех стран S₁, S₂, S₃ имеет вид:

.

Найти соотношение национальных доходов стран для сбалансированной торговли.

Решение:

Находим собственный вектор , отвечающий собственному значению , решив уравнение =0 или систему

= методом Гаусса. Найдем , ,, т.е.. Полученный результат означает, что сбалансированность торговли трех стран достигается при соотношении национальных доходов стран .

Задание 5

Даны две последовательные вершины ромба АВСD и точка пересечения

его диагоналей О

Найти :

1. Длину и уравнение стороны CD

2. Уравнение высоты, проведенной из вершины В

3. Внутренний угол при вершине А

4. Площадь ромба

Решение.

Известно, что точка пересечения диагоналей ромба делит эти диагонали пополам. Найдем

координаты точек С и D, воспользовавшись формулами для координат середины отрезка.

Следовательно:

1. Длина стороны CD=

Прямая CD проходит через две заданные точки, её уравнение имеет вид

CD: 5х-y-19=0-уравнение стороны CD

2. Угловой коэффициент прямой CD

К_CD=из условия перпендикулярности прямых ВК и CD К_ВК=

Уравнение высоты имеет вид

3. Угловой коэффициент прямой AD

К₁=

Угловой коэффициент прямой АВ:

К₂=

tg

4. Площадь ромба S=,где d₁ и d₂ –диагонали ромба.

Найдем длины диагоналей ромба.

d₁=AC=

d₂=BD=

S₁=ед.

Задание 6

Даны четыре точки . Составить уравнения:

1. Плоскости

2. Прямой

3. Прямой , перпендикулярной к плоскости

4. Прямой , параллельно прямой

5. Плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

6. Найти косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью

1. Решение :

Используя формулу:

Составляем уравнение плоскости

Раскрыв данный определить по элементам первой строки, придем к уравнению

6х - 7y - 9z + 97=0;

2. Учитывая уравнения прямой, проходящей через две точки

, уравнение прямой можно записать в виде

3. Из условия перпендикулярности прямой и плоскости следует,

что в качестве направляющего вектора прямой S можно взять нормальный вектор

плоскости

Тогда уравнение прямой М с учетом уравнений

запишется в виде

4. Так как прямая параллельна прямой , то их направляющие векторы

и можно считать совпадающими:

= =

Следовательно уравнение прямой параллельной прямой имеет вид

5. Если плоскость проходит через точку М₀и перпендикулярна к вектору

, то её уравнение записывается в виде

Подставляя в это уравнение вместо х₀, y₀, z₀ координаты точки , а вместо А, В, С

координаты вектора

получим уравнение искомой плоскости

6. Величина угла между плоскостями

А₁х + В₁y + C₁z + D₁=0 и А₂х + В₂y + C₂z + D₂=0

вычисляется на основании формулы:

cos

ЗАДАЧИ