37. Непрерывная случайная величина. Интегральная и дифференциальная функция распределения.

Для непрерывной случайной величины в отличие от дискретной нельзя построить таблицу распределения. Поэтому непрерывные случайные величины изучают другим способом.

Пусть X – непрерывная случайная величина с возможными значениями из некоторого интервала (a; b) и x – действительное число. Под выражением X < x понимается событие «случайная величина X приняла значение, меньшее x». Вероятность этого события P(X < x) есть некоторая функция переменной x.

Определение. Интегральной функцией распределения непрерывной случайной величины X называется функция , равная вероятности того, что X приняла значение, меньшее x:

(1)

Функция распределения совершенно также определяется для дискретных случайных величин.

Свойства интегральной функцией распределения .

1. (эта функция есть вероятность).

2. - неубывающая функция.

3. Вероятность попадания случайной величины X в полуинтервал равна разности между значениями функции распределения в правом и левом концах интервала (a; b):

4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо заранее заданное значение, равна нулю:

5. Вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал, сегмент и полуинтервал с одними и теми же концами одинаковы:

6. Если возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу (a; b), то

   1. при ,

   2. при .

Следствие. , .

Определение. Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины X называется функция , равная производной интегральной функции:

(2)

Так как - неубывающая функция, то .

Теорема. Вероятность попадания непрерывной случайной величины X в интервале (a; b) равна определенному интегралу от дифференциальной функции распределения величины X, взятому в пределах от a до b:

(3)

Из (3) следует, что геометрически вероятность представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности вероятности и отрезками прямых y = 0, x = a, x = b.

Следствие. В частности, если - четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то

На основании формулы Ньютона-Лейбница можно записать , откуда, в силу следствия 1, можно записать: (4).

Верно также равенство: (5).

Пример. Задана плотность вероятности случайной величины X

.

Требуется найти коэффициент A, функцию распределения F(x) и вероятность попадания случайной величины X в интервал (0; 1).

Коэффициент A найдем, воспользовавшись соотношением (5).

Так как , откуда .

Применяя формулу (4), получаем функцию распределения .

Наконец, на основании 3 и 5 свойств, с учетом найденной функции F(x) получим

.

38. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности называют величину несобственного интеграла (если он сходится):

(1)

Свойства математического ожидания непрерывной случайной величины.

1. Математическое ожидание постоянной величины C равно этой величине.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. .

3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин X и Y равно сумме их математических ожиданий: M(X+Y) = M(X) + M(Y).

4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY) = M(X) M(Y).

5. Математическое ожидание разности – двух случайных величин X и Y равно разности их математических ожиданий: M(X–Y) = M(X) – M(Y).

Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины X, математическим ожиданием которой и функция является ее плотностью вероятности, называется величина несобственного интеграла (если он сходится):

(2)

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины имеют те же свойства, что и математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.

Для непрерывной случайной величины X среднее квадратическое отклонение определяется, как и для дискретной величины, формулой .

Свойства дисперсии дискретной случайной величины.

1. Дисперсия дискретной случайной величины X равна разности между математическим ожиданием квадрата величины X и квадратом ее математического ожидания:

2. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

4. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

Пример. Случайная величина X задана плотностью вероятности. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины X.

,