2. Математические модели элементов и систем управления

Математическое описание системы начинается с разделения ее на элементы, для которых должны быть составлены уравнения, описывающие их функционирование. Уравнения составляются на обнове анализа физических, химических, экономических и других процессов, происходящих в системе, с помощью законов сохранения энергии и вещества, законов электротехники, механики, гидравлики и т.д.

Система уравнений, с достаточной точностью описывающая поведение объекта во времени и пространстве, называется математической моделью. Разработка и уточнение моделей занимает от 80 до 90 процентов времени, затрачиваемого на проектирование систем автоматического управления [29]. При этом следует отдавать себе отчет, что никакая математическая модель физической системы не является точной. Можно повышать точность модели, увеличивая количество и сложность уравнений, но всё же не возможно добиться абсолютной точности. Поэтому следует стремиться к тому, чтобы модель адекватно отражала поведение физической системы в области её работоспособности и в то же время была не слишком сложной, доступной для аналитических преобразований и численного расчета.

2.1. Передаточные функции. Преобразования Лапласа

Исследование автоматической системы регулирования (АСР) существенно упрощается при использование прикладных математических методов операционного исчисления.

Дифференциальное уравнение (ДУ) элемента регулирующей системы связывает выходные величины с входными величинами и в общем случае имеет вид:

(2.1)

где – выходная величина элемента (в отклонениях от состояния равновесия);

– входная величина элемента (в отклонениях от состояния равновесия);

– постоянные коэффициенты, определяемые конструктивными особенностями и параметрами настройки элемента.

Если в уравнении (2.1) вместо функций времени и ввести функции и комплексного переменного , поставив условием, что эти функции связаны зависимостями

(2.2)

то оказывается, что дифференциальное уравнение, содержащее функции и при нулевых начальных условиях (при ) равносильно линейному алгебраическому уравнению, содержащему функции и :

(2.3)

Такой переход от дифференциального уравнения к однозначно соответствующей алгебраической форме называется преобразованием Лапласа. Функция называется изображением функции , функция называется оригиналом функции .

Операция перехода от искомой функции к ее изображению (нахождение изображение от оригинала) называется прямым преобразованием Лапласа, которое производится в соответствии с преобразованием Римана-Мелина:

,

в котором интегрирование ведется в комплексной плоскости вдоль бесконечной прямой, параллельной мнимой оси и расположенной правее всех особенностей функции . Математически прямое преобразование Лапласа записывается условно с помощью символа как

Операция перехода от изображения к искомой функции (нахождение оригинала от изображения) называется обратным преобразованием Лапласа. Математически обратное преобразование Лапласа записывается с помощью символа как

Возможна запись соответствия между оригиналом и изображением по аналогии с таблицей

Практически переход от дифференциального уравнения к алгебраическому уравнению происходит без каких-либо вычислений. Если сравнить уравнение (2.1) с уравнением (2.3), то нетрудно заметить, что формальный переход от дифференциального уравнения к алгебраическому при нулевых начальных условиях получается путем замены символов дифференцирования оригиналов функций соответственно и функций – их изображениями . С комплексной переменной , как и с другими членами алгебраического уравнения, можно производить различные действия: умножение, деление, вынесение за скобки и т.д.

Обозначив производную , согласно (2.2) найдем изображение .

.

Интегрируя по частям, получим

(так как согласно условию существования интеграла Лапласа).

Итак, изображение производной при нулевых начальных условиях имеет вид:

Таким образом, мы убедились в правомерности формального перехода от дифференциальной формы записи производной к ее записи в операторной форме, заменив символ дифференцирования комплексной переменной при нулевых начальных условиях.

Так как

, то и т.д.

Аналогично можно доказать, что операции интегрирования оригинала соответствует операция деления изображения этого оригинала на комплексный оператор . Так при нулевых начальных условиях

.

Поскольку интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов от отдельных выражений, а постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то преобразование Лапласа обладает свойствами линейности, а именно

;

.

Каждый элемент АСР в общем случае описывается дифференциальным уравнением вида (2.1). Следовательно, при выводе дифференциального уравнения системы в целом необходимо совместно решить несколько дифференциальных уравнений высших порядков.

Преобразование дифференциальных уравнений по Лапласу позволяет свести эту задачу к решению системы алгебраических уравнений. Определив из алгебраических уравнений изображение искомой функции , определяющей переходный процесс в системе, по таблицам соответствий оригиналов и их изображений находят эту функцию. (См. Приложение 1). Либо вышеназванный переход можно осуществить по известным формулам обратного преобразования Лапласа в соответствии с теоремой разложения.

Кроме того, преобразование уравнений по Лапласу дает возможность ввести очень значимое для теории управления понятие передаточной функции, характеризующей динамические свойства любого элемента системы. С помощью передаточных функций расчет систем автоматического регулирования (САР) еще больше упрощается и становится доступным широкому кругу инженерно-технических работников, не требуя применения сложного математического аппарата.

Вынося в уравнении (2.3) за скобки и , получим:

(2.4)

Определим из уравнения (2.4) отношение изображения выходной величины к изображению входной:

(2.5)

Отношение изображения выходной величины элемента системы к изображению его входной величины при нулевых начальных условиях называют передаточной функцией элемента системы.

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной :

, (2.6)

где

– полином степени ,

– полином степени .

Из уравнения (2.5) следует, что передаточная функция элемента системы и изображение его входной величины определяют изображение выходной величины:

. (2.7)

Данное выражение есть реакция элемента системы на входное воздействие, эта реакция всецело зависит от передаточной функции, т.е. от динамических свойств элемент системы (звена). Предполагается, что входное воздействие известно – синусоидальное, единичное или импульсное.