Обозначения

Тот факт, что последовательность сходится к числу обозначается одним из следующих способов:

• ;

• .

Свойства

Существуют определённые особенности для предела последовательностей вещественных чисел.^[2]

Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.

Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из доказываемых ниже свойств предела.

Свойства Арифметические свойства

• Оператор взятия предела числовой последовательности является линейным, т. е. проявляет два свойства линейных отображений.

  • Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.

• Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.

• Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.

• Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.

Свойства сохранения порядка

• Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, не превышают некоторого числа, то и предел этой последовательности также не превышает этого числа.

• Если некоторое число не превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то оно также не превышает и предела этой последовательности.

• Если некоторое число строго превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то предел этой последовательности не превышает этого числа.

• Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, строго превышают некоторое число, то это число не превышает предела этой последовательности.

• Если, начиная с некоторого номера, все элементы одной сходящейся последовательности не превышают соответствующих элементов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности не превышает предела второй.

• Для числовых последовательностей справедлива теорема о двух милиционерах (принцип двустороннего ограничения).

Другие свойства

• Сходящаяся числовая последовательность имеет только один предел.

• Замкнутость. Если все элементы сходящейся числовой последовательности лежат на некотором отрезке, то на этом же отрезке лежит и её предел.

• Предел последовательности из одного и того же числа равен этому числу.

• Замена или удаление конечного числа элементов в сходящейся числовой последовательности не влияет на её предел.

• У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.

• Имеет место теорема Штольца.

• Если у последовательности x_n существует предел, то последовательность средних арифметических имеет тот же предел (следствие из теоремы Штольца).

• Если у последовательности чисел существует предел , и если задана функция , определенная для каждого и непрерывная в точке , то

Примеры

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

Случай комплексных чисел

Комплексное число a называется пределом последовательности {z_n}, если для любого положительного числа ε можно указать такой номер N = N(ε), начиная с которого все элементы z_n этой последовательности удовлетворяют неравенству | z_n − a | < ε при

Последовательность {z_n}, имеющая предел a, называется сходящейся к числу a, что записывается в виде .

Примеры

Не у всякой ограниченной последовательности существует предел. Например, если взять в качестве пространства множество вещественных чисел со стандартной топологией, а в качестве x_n последовательность x_n = ( − 1)ⁿ, то у неё не будет предела (однако у неё можно найти верхний и нижний пределы, 1, − 1, то есть пределы её подпоследовательностей — частичные пределы).

Замечания

• Произведение бесконечно малой последовательности на бесконечно большую может стремиться в пределе к чему угодно, либо не иметь предела.

Предел функции

График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L.

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении аргумента к данной точке.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально, под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения; это позволяет говорить о стремлении аргумента функции (к данной точке). Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).

В общем случае необходимо точно указывать способ сходимости функции, для чего вводят т.н. базу подмножеств области определения функции, и тогда формулируют определение предела функции по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.

Поскольку на расширенной вещественной прямой можно построить базу окрестностей бесконечно удалённой точки, то оказывается допустимым описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а, также, описание ситуации, когда функция сама стремится к бесконечности (в заданной точке). Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента), как раз предоставляет пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».

Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для любого заранее заданного значения области значений и всякой его окрестности сколь угодно близко от заданной точки существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами заданной окрестности.

Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению в данной функции, то функция оказывается непрерывной (в данной точке).

Предел фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа.

Содержание 1 Определение 2 Определения 2.1 Предел функции по Гейне 2.2 Предел функции по Коши 2.3 Окрестностное определение по Коши 2.4 Предел по базе множеств 2.5 Эквивалентность определений 3 Вариации и обобщения 3.1 Односторонний предел 3.2 Предел вдоль фильтра 3.3 Пределы на бесконечности 3.3.1 Предел на бесконечности по Гейне 3.3.2 Предел на бесконечности по Коши 3.3.3 Окрестностное определение по Коши 4 Обозначения 5 Свойства пределов числовых функций 6 Примеры

Определение

Функция имеет предел в точке , предельной для области определения функции , если для каждой окрестности предела существует проколотая окрестность точки , образ которой при отображении является подмножеством заданной окрестности точки .

Определения

Рассмотрим функцию , определённую на некотором множестве , которое имеет предельную точку (которая, в свою очередь, не обязана ему принадлежать).

Предел функции по Гейне

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любой последовательности точек , сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ), последовательность значений функции сходится к .^[1]

Предел функции по Коши

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа ε найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .^[1]

Окрестностное определение по Коши

Значение называется пределом (предельным значением) функции в точке , если для любой окрестности точки существует выколотая окрестность точки такая, что образ этой окрестности лежит в . Фундаментальное обоснование данного определения предела можно найти в статье Предел вдоль фильтра.

Предел по базе множеств

Наиболее общим определением является определение предела функции по базе.

Пусть — некоторая база подмножеств области определения. Тогда

• число A называется пределом функции по (при) базе , если для всякого ε > 0 найдётся такой элемент B базы, колебание функции на котором не будет превосходить величину ε:

ω(f,B) < ε.

Если a — предельная точка множества E, то это означает, что каждая проколотая окрестность точки в множестве E не пуста, а, значит, существует база проколотых окрестностей в точке a. Эта база имеет специальное обозначение «» и читается «при x, стремящемся к a по множеству E». Если область определения функции f совпадает с , то значок множества опускается, тогда база обозначается совсем просто «» и читается «при x, стремящемся к a».

При рассмотрении только числовых функций вещественного переменного также рассматриваются и базы односторонних окрестностей. Для этого рассматриваются два множества:

• , где ;

• , где .

Соответственно этому вводятся две базы:

• «», которая коротко обозначается в виде «» или ещё проще «»;

• «», которая коротко обозначается в виде «» или ещё проще «».

Эквивалентность определений

Все данные выше определения предела функции в точке эквивалентны.^[1] Иными словами, из любого из них можно вывести любое другое, то есть выполнение одного из них неизбежно влечёт выполнение всех остальных.

Вариации и обобщения

Односторонний предел

Основная статья: Односторонний предел

Односторонний предел числовой функции в точке — это специфический предел, подразумевающий, что аргумент функции приближается к указанной точке с определённой стороны (слева или справа). Числовая функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке совпадающие левый и правый пределы.

Предел вдоль фильтра

Основная статья: Предел вдоль фильтра

Предел функции вдоль фильтра — это обобщение понятия предела на случай произвольной области определения функции. Задавая частные случаи области определения и базиса фильтра на ней, можно получить многие приведённые в этой статье определения пределов.

Пределы на бесконечности

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим. Существуют различные определения таких пределов, но они эквивалентны между собой.

Предел на бесконечности по Гейне

• Пусть числовая функция задана на множестве , в котором отыщется сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка . В этом случае число называется пределом функции на бесконечности, если для всякой бесконечно большой последовательности точек соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках сходится к числу .

• Пусть числовая функция задана на множестве , в котором для любого числа найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число называется пределом функции на плюс бесконечности, если для всякой бесконечно большой последовательности положительных точек соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках сходится к числу .

• Пусть числовая функция задана на множестве , в котором для любого числа найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число называется пределом функции на минус бесконечности, если для всякой бесконечно большой последовательности отрицательных точек соответствующая последовательность частных значений функции в этих точках сходится к числу .