Полунепрерывность

Существует два симметричных друг другу свойства — полунепрерывность снизу и полунепрерывность сверху:

• функция f называется полунепрерывной снизу в точке a, если для любого ε > 0 существует такая окрестность U_E(a), что f(x) > f(a) − ε для всякого ;

• функция f называется полунепрерывной сверху в точке a, если для любого ε > 0 существует такая окрестность U_E(a), что f(x) < f(a) + ε для всякого .

Между непрерывностью и полунепрерывностью имеется следующая связь:

• если взять функцию f, непрерывную в точке a, и уменьшить её значение (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную снизу в точке a;

• если взять функцию f, непрерывную в точке a, и увеличить её значение (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную сверху в точке a.

В соответствии с этим можно допустить для полунепрерывных функций бесконечные значения:

• если , то будем считать такую функцию полунепрерывной снизу в точке a;

• если , то будем считать такую функцию полунепрерывной сверху в точке a.

Односторонняя непрерывность

Функция f называется односторонне непрерывной слева (справа) в каждой точке x₀ её области определения, если для одностороннего предела выполняется равенство : ()

Непрерывность почти всюду

На вещественной прямой обычно рассматривается простая линейная мера Лебега. Если функция f такова, что она непрерывна всюду на E, кроме, быть может, множества меры нуль, то такая функция называется непрерывной почти всюду.

В том случае, когда множество точек разрыва функции не более чем счётно, мы получаем класс интегрируемых по Риману функций (см. критерий интегрируемости функции по Риману).

Производная функции

Иллюстрация понятия производной

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке). Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — интегрирование.

Содержание 1 История 2 Определение 2.1 Определение производной функции через предел 2.2 Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x0 3 Дифференцируемость 4 Замечания 5 Геометрический и физический смысл производной 5.1 Тангенс угла наклона касательной прямой 5.2 Скорость изменения функции 6 Производные высших порядков 7 Способы записи производных 8 Примеры 9 Правила дифференцирования 10 Таблица производных некоторых функций 11 Производная вектор-функции по параметру

История

В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.

Русский термин «производная функции» впервые употребил В. И. Висковатов.^[1]

Определение

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности U(x₀) можно представить в виде

f(x₀ + h) = f(x₀) + Ah + o(h)

если существует.

Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x₀ называется предел, если он существует,

Общепринятые обозначения производной функции y = f(x) в точке x₀

Заметим, что последнее обычно обозначает производную по времени (в теоретической механике).

Дифференцируемость

Основная статья: Дифференцируемая функция

Производная функции f в точке x₀, будучи пределом, может не существовать или существовать и быть конечной или бесконечной. Функция f является дифференцируемой в точке x₀ тогда и только тогда, когда её производная в этой точке существует и конечна:

Для дифференцируемой в x₀ функции f в окрестности U(x₀) справедливо представление

при

Замечания

• Назовём Δx = x − x₀ приращением аргумента функции, а Δy = f(x₀ + Δx) − f(x₀) приращением значения функции в точке x₀. Тогда

• Пусть функция имеет конечную производную в каждой точке Тогда определена произво́дная фу́нкция

• Функция, имеющая конечную производную в точке, непрерывна в ней. Обратное не всегда верно.

• Если производная функция сама является непрерывной, то функцию f называют непреры́вно дифференци́руемой и пишут: