Примеры решения задач:

Задача 1 Задана фронтальная проекция точек М(М₂) и N (N₂) на видимых гранях поверхности.

Решение: Так как каждая грань – это плоскость, ограниченная многоугольником, для грани действуют все признаки инцидентности, определенные для плоскости.

Для построения горизонтальной проекции точки М₁ нужно в грани построить любую прямую, проходящую через точку М, тогда соответствующие проекции точки будут лежать на проекциях этой прямой. Удобно использовать прямую, параллельную ребру основания, например (1₂М₂ || (В₂С₂)→(1₁М₁) ||(В₁С₁). Можно также через проекцию N₂(SBC) и вершину S₂ провести прямую (S₂2 ₂)→( S₁2₁) и по линии связи взять N₁. В призме через N₂ проводим прямую линию (N₂2₂)|| (B₂B¹₂) и на ней по линии связи (N₂N₁) находим.N₁. использование свойства параллельности и заданных вершин сокращает объем работы.

Задача 2 Построить линию сечения пирамиды плоскостью Г.

Решение. На рисунке показана линия (1–2–3) сечения пирамиды плоскостью Г (Г₂), которая строится по точкам 1₂ –2₂ – 3₂ пересечения фронтальных проекций ребер с проекцией секущей плоскости.

Фигура сечения (1 – 2 – 3) многогранника плоскостью Г, которая параллельна его основанию, подобна фигуре основания..

Задача 3 Построить линию пересечения прямой l(ll) с многогранной поверхностью.

Решение. Для определения точек (MN) пересечения прямой l с многогранной поверхностью используют проецирующую плоскость. Например, , далее строят сечение (1–2–3) поверхности и в пересечении проекции прямой с многоугольником сечения находят искомые точки:

. Видимость определяется с помощью конкурирующих точек.

Можно вести плоскость ∆ параллельно боковым ребрам призмы. Для этого на прямой l выбирают точку 1(l₁ – l₂) , через нее проводят прямую b (b₁b₂)параллельно проекциям боковых ребер и определяют линию пересечения (2 – 3) (2₂ – 3₂) (2₁ – 3₁) плоскости основания призмы с построенной плоскостью. Плоскость Δ(l∩b)пересечет призму по прямым параллельным боковым ребрам. Начинаются эти прямые в точках 4 ₁и 5₁ пересечения следа (2₁–3₁) с фигурой основания. Их пересечение с l₁ определит точки M₁ –→ M₂ и N₁→ N₂ пересечения прямой с призмой.

Задача 4 Построить линии пересечения пирамиды и призмы способом ребер. При выборе плоскостей посредников рекомендуется проанализировать возможные варианты и выбрать наиболее простой. Для решения задачи выбраны фронтальные плоскости уровня Θ||Γ||Σ||П₂. Они удобны тем, что пересекают пирамиду по треугольникам, подобным треугольнику G₂ S₂ L₂.

Построения сводятся к тому, что на пересечении проекции Θ₁ плоскости Θ, проходящей через ребро EE^' призмы, с ребрами пирамиды отмечаем проекции 6₁,7₁,8₁ точек, по линиям связи отмечаем 6₂, 8₂ и через них проводим прямые, параллельные соответственно ребрам G₂ S₂. и L₂ S₂.

Эти прямые пересекутся в точке 7₂ ребра K₂ S₂ и в точках 1 1^'₂ 1₂' и с проекцией ребра призмы. По линиям связи находим Точки 1(1₁1₂)=(EE^')(GSK) и 1^'() = ….. являются точками пересечения ребра призмы с гранями пирамиды. Отрезок …. Проходит внутри пирамиды. Точки лежат на видимых гранях призмы и пирамиды, следовательно, они тоже видимые. Плоскость… проходит через ребра …. И …. Пирамиды и пересекают призму по прямоугольнику (). Точки 2……….. являются видимыми точками пересечения боковых ребер пирамиды с гранями призмы. Отрезки ……являются частью линии пересечения многогранников. Горизонтальные проекции () и () не видны, так как принадлежат невидимой на виде сверху грани () призмы. Через ребро ….. проведена плоскость .

Через точки 11 и 12 проводим прямые параллельно боковым ребрам пирамиды ….. и отмечаем точки ……; их пересечения с ребром … призмы. соединяем …… основными линиями, так как точки видимые, а ….. - штриховыми линиями, так как точки 3 и 3₁ принадлежат невидимым на фронтали проекциям грани GSH. и LSH. пирамиды.

Для определения точек 4 и 4^' пересечения ребра FF^׀. Призмы с пирамидой были также использованы плоскости уровня.

Соединяем точки 3–4 и 4–5 с учетом их видимости. Фигуры (1–2–3–4–5) и (1^'–2^'–3^'–4^'–5^') являются линиями пересечения данных многогранников. Если нужно выполнить отверстие в многограннике, то эта линия будет являться контуром этого отверстия.