2. Задача 2 “Постановка кинематических и статических граничных условий”

Задачей теории упругости является определение распределения напряжений, деформаций и перемещений в теле, возникающих при заданных объемных и поверхностных нагрузках, а также кинематических граничных условиях на его поверхности.

Рассмотрим вопрос о том, как задаются граничные условия на поверхности тела.

Н

Рис. 11

а тонкую пластинку, показанную на рис. 11, наложены связи, препятствующие перемещению пластинки как жесткого тела в плоскости . Любые перемещения точек пластинки происходят лишь за счет ее деформации. Эти перемещения разложим на составляющие , параллельные соответствующим осям координат . Ограничения, которые связи накладывают на перемещения точек контура пластинки, называют кинематическими граничными условиями.

На участке AK контура пластинки (рис. 11а) имеется жесткая связь пластинки с неподвижным и абсолютно твердым телом и для всех точек контакта обоих тел соблюдаются условия . Контур пластинки в точках C и D имеет дискретные связи с тем же абсолютно твердым телом. Перемещения точки D контура пластинки равны нулю, т. е. . Из двух перемещений точки в плоскости пластинки лишь одно, параллельное оси , равно нулю, а другое, параллельное оси x , в результате деформаций пластинки может иметь место (табл. 2.1).

Таблица 2.1

Кинематические граничные условия

Участок контура	Уравнения участка контура	Перемещения
АК
Точка C
Точка D

К пластинке приложены поверхностные нагрузки, параллельные ее плоскости и распределенные равномерно по её толщине t (рис. 11б). Проекция интенсивности поверхностных нагрузок вдоль оси равна нулю, т. е. , и, кроме того, равны нулю и объемные силы . В связи с этим напряженное состояние в любой точке определяется только тремя компонентами напряжения: , лежащими в одной плоскости. Эти напряжения можно считать постоянными по толщине (составляющие напряжения равны нулю в точках, прилегающих к боковым поверхностям пластинки, и без существенной ошибки можно предположить, что они обращаются в нуль и по толщине пластинки). Таким образом, в пластинке имеет место плоское напряженное состояние.

В дальнейшем обсуждении толщина пластинки не имеет значения, и этот размер, как обычно, полагается равным единице. Компоненты напряжения меняются непрерывно от точки к точке по всей пластинке, и при достижении ее границ должны быть такими, чтобы уравновесить внешние силы, приложенные по контуру. Рассмотрим малую трехгранную призму (рис. 11в). Ее грань совпадает с границей пластинки, как показано на рис. 11а. Проекции на оси интенсивности поверхностных нагрузок, приложенных к контуру пластинки, равны соответственно . Условия равновесия на контуре пластинки будут иметь следующий вид (рис. 11в)

(2.1)

где и – направляющие косинусы нормали к контуру пластинки.

Уравнения (2.1) называются статическими граничными условиями.

Контур пластинки состоит из пяти прямолинейных участков и полуокружности. Значения проекции поверхностных нагрузок и направляющих косинусов нормалей к отдельным участкам контура пластинки приведены в таблице 2.2.

Проекция интенсивности поверхностных нагрузок имеет знак плюс, если совпадает с положительной осью координат , и знак минус, если противоположна положительной оси .

В заключение отметим, что роль граничных условий в теории упругости заключается в следующем:

1. при помощи статических граничных условий (2.1) обеспечивается равновесие внутренних и внешних сил на поверхности нагруженного тела (см. рис. 11в);

Таблица 2.2

Значения на контуре пластинки

Участок	Уравнение участка контура
1	2	3	4	5	6
AB		0	1	0	–1
BC
CD		0	-1	0	0
ED				0	0
KE		0	-1	0	0

2. при помощи кинематических граничных условий соблюдается совместимость перемещений точек тела в результате деформаций с наложенными на тело связями (см. рис. 11а);

3. при интегрировании дифференциальных уравнений теории упругости появляются постоянные интегрирования (или функции интегрирования), которые определяются из граничных условий.