1.1.3. Главные напряжения, определение положения главных площадок
Одной из важнейших задач инженерных расчётов является оценка прочности материалов в наиболее напряжённых точках конструкций. Для решения этой задачи применяют теории прочности, в которых используются главные напряжения.
В окрестностях
любой точки нагруженного тела всегда
имеются три взаимно перпендикулярные
площадки, на которых касательные
напряжения обращаются в ноль,
а соответствующие полные напряжения
перпендикулярны этим площадкам. Такие
площадки называются главными,
нормали к ним – главными
осями, а
нормальные напряжения
– главными
напряжениями
(рис. 5).
Главные напряжения обозначим в порядке
убывания
.
П
Рис. 5
.
Величины главных напряжений являются
корнями кубического уравнения:
(1.12)
где
(1.13)
– инварианты
напряженного состояния, которые не
меняются при повороте координатных
осей.
Используя заданные напряжения (1.1), вычислим инварианты (1.13):
(1.14)
Подставим значения инвариантов в кубическое уравнение(1.12) и получим:
(1.15)
Чтобы
уменьшить величины коэффициентов в
уравнении (1.15), воспользуемся
подстановкой
.
После преобразований
получим уравнение:
(1.16)
Для отыскания корней кубического уравнения имеются готовые формулы (см. справочники по математике), но ими пользоваться неудобно. В наше время можно пользоваться РС с какой-либо вычислительной программой. В частности, можно рекомендовать программу Mathcad. В этой программе очень просто построить график функции
Точки пересечения графика этой функции с осью абсцисс дадут корни полинома, т. е. значения, как это показано на рис. 6.
Рис. 6
Если
у студента нет компьютера или он не
умеет пользоваться комплексом Mathcad,
то он может решить уравнение (1.15)
“вручную”, т. е. сначала путем подбора
надо найти одно значение, обращающее в
ноль полином в правой части (1.16). Допустим,
это
.
Затем, деление полинома (1.16) на
приводит к квадратному уравнению
(1.17)
Корнями этого уравнения будут два числа: -8,22 и 10,9.
Следовательно,
корнями уравнения (1.16) являются числа
Числа
,
увеличенные
в 10 раз, являются главными напряжениями
.
Полагая
получим
;
;
(1.18)
Выполним проверку найденных значений главных напряжений, вычислив инварианты напряжённого состояния и сравнив их с исходными значениями (1.14).
Разница между инвариантами при повороте осей координат возникает за счет приближенного вычисления напряжений (1.18), и в нашем случае она меньше 1%.
Если площадка,
наклонная к осям
является главной, то полное напряжение,
действующее по этой площадке, будет
перпендикулярно к ней, т. е.
и его составляющие по осям координат
равны
(1.19)
где
–
направляющие
косинусы нормали
к главной площадке.
Направляющие
косинусы нормали
к
главной площадки найдем следующим
образом. Подставим в
уравнения (1.5) вместо
их выражения в
виде
(1.19) и получим
систему уравнений:
(1.20)
Тривиальное решение
системы уравнений (1.20) в виде
не может быть искомым решением, так как
не будет выполняться соотношение (1.6)
Найдем искомые
значения
,
решая систему, состоящую из уравнения
(1.6) и любых двух уравнений (1.20) (например,
первых двух) при условии, что
,
а компоненты
напряжения имеют значения в виде (1.1):
(1.21)
Используя два
последних уравнения (1.21), выразим
и
через
,
и подставим их в первое уравнение (1.21).
Таким образом, получим квадратное
уравнение относительно
,
из которого определяем два значения
.
После определения
и
из двух
последних уравнений (1.20)
получим
окончательное
решение системы
уравнений (1.21) в виде:
или
В
Рис. 7
нормали к любой главной площадке
изменяются только знаки направляющих
косинусов этой нормали (рис. 7). Точность
вычисления
– направляющих косинусов
нормали к первой главной
площадке – проверяется путем подстановки
в уравнение (1.6).
Таким образом, два набора направляющих косинусов соответствуют противоположным граням элементарного параллелепипеда.