4.5. Изгиб прямоугольной полосы под действием собственного веса
4.5.1. Постановка задачи
Прямоугольная
полоса с узким поперечным сечением
оперта шарнирно по концам (рис. 31). Она
изгибается под действием собственного
веса с интенсивностью
,
т. е. на единичный объем в каждой точке
тела действуют объемные нагрузки,
интенсивность которых равна
(4.48)
К
Рис. 25
.
Полагаем, что
напряженное состояние полосы является
плоским и не изменяется вдоль координаты
.
Поэтому ширина сечения полосы по
координате
принята равной единице, т. е.
.
Требуется определить
компоненты напряжений
методами теории упругости и сопротивления
материалов.
4.5.2. Решение задачи
Покажем, что задачу
о напряжениях в указанной полосе можно
решить, используя в функцию напряжений
,
заданной в виде суммы полиномов:
.
(4.49)
Убедимся вначале:
что при помощи этой функции можно
описывать напряженное состояние полосы
без разрывов и трещин. Для этого подставим
функцию напряжений
в основное уравнение (4.26) плоской задачи
.
Производные от
функции
,
входящие в это уравнение, имеют следующие
значения:
Подставим их в уравнение сплошности (4.26) и получим
Поскольку уравнение
сплошности обращается в тождество при
любых значениях коэффициентов
,
то функция (4.49) описывает напряженное
состояние без разрывов и трещин
Неизвестные
постоянные коэффициенты
определим из статических граничных
условий на контуре полосы (4.20):
Вначале выразим
через функцию
напряжения, входящие в правую часть
граничных условий (4.20), После подстановки
функции
(4.49) в формулы (4.25) получим:
(4.50)
Постоянные коэффициенты, входящих в выражения (4.50), должны обеспечить равенство внутренних и внешних сил на контуре полосы. Условием выполнения такого равенства является соблюдение статических граничных условий, в которые кроме напряжений входят направляющие косинусы и интенсивности внешних нагрузок (см. рис. 31):
на верхней грани:
при
(4.51)
на нижней грани:
при
(4.52)
Граничные условия (4.20) для верней грани с учетом (4.51) имеют следующий вид:
Откуда
(4.53)
При рассмотрении
граничных условий на нижней грани
получим те же значения для коэффициентов
.
Для напряжений
(4.64) с учетом (4.67) получим следующие
выражения:
(4.54)
Чтобы определить
коэффициент
,
найдем интенсивности внешних нагрузок
,
например, на правом торце. Для этого
подставим выражения напряжений (4.54) и
значения направляющих косинусов внешней
нормали
в граничные статические условия (4.20)
(4.55)
Из выражений (4.55) видно, что по торцу действуют касательные и нормальные внешние нагрузки. Однако, при постановке задачи не были заданы законы их распределения (см. рис. 25).
Используя принцип
Сен-Венана, вместо точных граничных
условий рассмотрим интегральные
граничные условия (4.53), которые при
значении
имеют следующий вид (см. табл. 4.2 из первой
части учебно-методического пособия и
рис. 25)
(4.56)
В (4.56) были учтены
правила знаки для проекций равнодействующих
внешних сил на оси
,
которые были показаны на рисунке 23.
Вначале рассмотрим первое интегральное уравнение (4.56) с учетом (4.55)
(4.57)
При четной функции
уравнение (4.57) превращается в тождество
при любом значении
.
Далее рассмотрим второе интегральное уравнение (4.56)
(4.58)
Заметим, что осевой
момент инерции для прямоугольного
поперечного сечения при ширине
равен
(4.59)
С учетом (4.59) из
соотношения (4.58) получим для коэффициента
следующее выражение
(4.60)
Если в формулу для
нормальных напряжений
из (4.54) вместо коэффициента
подставить его выражение в виде (4.60), то
получим:
(4.61)
В выражение (4.61) входят три слагаемые:
от изгибающих
моментов
от собственного веса (основное слагаемое)
от собственного веса (дополнительное слагаемое)
,
которые в виде эпюр показаны ниже (рис. 26).
Наконец рассмотрим третье интегральное условие по Сен-Венану из (4.56)
Подставляя в это
интегральное граничное условие вместо
интенсивности поверхностных касательных
нагрузок
ее выражение из (4.55), получим тождество.
Действительно,
Рис. 26
Напряжения
(4.54) с учетом (4.59)–(4.61) примут окончательный
вид:
(4.62)