2.1.2. Квантовые нити

Для квантовых нитей, в которых для определенности движение вдоль оси z будем считать свободным, потенциальная энергия является функцией координат x и y. Решением уравнения (2.1) в этом случае является огибающая функция

, (2.18)

где –компонента волнового вектора, соответствующая свободному движению вдоль оси z; L–длина квантовой нити; –огибающая функция, описывающая движение в плоскости сечения перпендикулярной оси нити и являющаяся решением уравнения

(2.19)

с граничными условиями на бесконечности. Энергетический спектр носителей заряда в квантовой нити, соответствующий огибающим функциям (2.18), как и в случае квантовой ямы, состоит из двух частей–энергии свободного движения, являющейся непрерывной функцией , и дискретных уровней энергии размерного квантования:

. (2.20)

Все уровни энергии при заданных квантовых числах m⁵, как и в случае КЯ, образуют подзону.

В простейшем случае, когда потенциальную энергию можно представить в виде двух прямоугольных бесконечно глубоких КЯ шириной a вдоль оси x и b вдоль оси y –

, (2.21)

решением уравнения (2.19) являются огибающие функции, представляющие собой произведение функций вида (2.5)–

. (2.22)

Энергия уровней размерного квантования, соответствующая этим функциям равна

. (2.23)

2.1.3. Квантовые точки

В КТ движение носителей заряда ограничено по всем трем координатам. Огибающие функции носителей заряда являются решениями уравнения (2.1), которые описывают локализованное движение и зависят от трех квантовых чисел⁶. Энергетический спектр этого движения является дискретным и имеет атомный вид. Если потенциальную энергию носителя заряда в КТ можно представить в виде суммы потенциальных энергий трех прямоугольных бесконечно глубоких ям

, (2.24)

огибающая функция будет иметь вид произведения трех функций вида (2.5)

. (2.25)

Этой функции будет соответствовать энергия уровней размерного квантования равная сумме энергий движения вдоль каждой из осей–

. (2.26)

2.2. Одномерные сверхрешетки

В сверхрешетках из квантовых ям носители заряда с энергией ниже потенциального барьера могут туннельным способом переходить из одной потенциальной ямы в другую. В случае периодических СР волновые функции в приближении эффективной массы являются решением уравнения (2.2) с периодической функцией потенциальной энергии вдоль оси роста (симметрии) решетки. Если ось z совпадает с осью симметрии, огибающая волновой функции, согласно теореме Блоха, принимает следующий вид

. (2.27)

–периодическая часть функции Блоха, соответствующей движению вдоль оси z

, (2.28)

где – период СР, состоящий из квантовой ямы и барьера шириной a и b соответственно; n–целое число. Собственные значения энергии функции (2.27) равны

, (2.29)

где –периодическая функция энергии, соответствующая функции –

, () (2.30)

N–число периодов СР. Согласно теореме Блоха, неэквивалентные значения компоненты волнового вектора меняются в пределах первой зоны Бриллюэна СР

. (2.31)

Все уровни энергии при заданном значении m составляют минизону, в которой энергия является квазинепрерывной функцией волнового вектора k. Квантовое число m соответствует номеру минизоны.

В случае прямоугольных квантовых ям и барьеров–приближение Кронига-Пенни–значения энергии являются решением трансцендентного уравнения⁷

, (2.32)

где ; ; . (2.33)

В уравнении (2.32) использованы те же обозначения, что и в уравнении (2.10). При , что имеет место при и , уравнение (2.32) переходит в уравнение (2.10) для изолированных прямоугольных КЯ конечной глубины. При , когда вероятность туннелирования между КЯ становится малой, СР называются решетками со слабо взаимодействующими КЯ. Приближение, которое используется для расчета энергетического спектра и волновых функций таких СР, называется приближением сильной связи. Название этого приближения учитывает тот факт, что носители заряда, за счет сильного взаимодействия с КЯ, в которой находятся, почти все время проводят в ней, лишь изредка туннелирую в другие ямы. Для энергетического спектра носителей заряда из решения уравнения (2.32) в приближении сильного взаимодействия получаем

, (2.34)

где –решения уравнения (2.10), –ширина минизоны⁸. На рис. 2.1. представлен энергетический спектр первой (основной) и второй (первой возбужденной) минизон, определяемый формулой (2.34).

Для основной минизоны дисперсия энергии по k_z имееи вид

. (2.35)

При малых значениях k_z,раскладывая в ряд функцию косинуса, для носителей заряда можно ввести эффективную массу вдоль оси z

Рис. 2.1 Энергетический спектр основной и первой возбужденной минизон СР

в приближении сильной связи.

, (2.36)

где . (2.37)

Следовательно, энергетический спектр носителей заряда в окрестности дна минизоны, с учетом энергии свободного движения вдоль КЯ, можно описать с помощью тензора анизотропной эффективной массы. Значение , за счет ее зависимости от ширины минизоны, можно изменять в широких пределах, изменяя конструктивные параметры СР. Для узких минизон .