4. Примеры с решениями

В примерах 5.6 – 5.8 вычислить контурные интегралы.

Пример 5.6.

Решение. Согласно основной теореме о вычетах запишем

.

Полюсы подынтегральной функции и простые, поэтому можем воспользоваться формулой (5.5). В результате

Пример 5.7., где – эллипс

Решение. Точки , и есть полюсы второго порядка подынтегральной функции, причем

Найдем вычеты в этих точках. Имеем

;

По основной теореме о вычетах

Пример 5.8. Вычислить интеграл.

Решение. Точки и являются полюсами 2-го порядка, но точка лежит вне окружности, а потому

Рис. 14. График к примеру 5.8.

5. Задачи для самостоятельного решения

1. Найти изолированные особые точки и определить их тип.

2. Найти вычеты в конечных особых точках функции:

3. Вычислить контурные интегралы.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9), где

6. Вычисление определенных интегралов от действительных функций

   1. Интегралы типа

Пример 6.1

Решение. Введем переменную, тогда

, , и при изменении от 0 до переменная пробегает один раз окружность в положительном направлении.

.

Подынтегральная функция имеет две особые точки, которые являются полюсами 1-го порядка, причем внутри контура лежит только точка. По основной теореме о вычетах имеем

Пример 6.2. Показать, что интеграл для любой непрерывной функции f(x) равен 0, если.

Решение. Пользуясь периодичностью тригонометрических функций, получим

,

так как интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю.

Пример 6.3. Вычислить интеграл.

Решение. Воспользовавшись результатами примера 6.1, получим:

2. Вычисление несобственных интегралов второго рода

Формула для вычислений и условия для ее применения даются в теореме 15.1 лекций:

Пример 6.3.

Решение. Аналитическое продолжение подынтегральной функции имеет в верхней полуплоскости две особые точки и, которые являются полюсами первого порядка. Используя формулу (6.1), получаем

3. Вычисление интегралов вида

Сразу же отметим, что методика вычисления интегралов указанного вида применяется при нахождении интегральных преобразований Фурье () и Лапласа () функции. Мы рассмотрим указанные интегралы только для.

Формулы для вычислений и условия применения даются в теоремах раздела 16 лекций. При указанных в этом разделе условиях

.

Из (6.2), учитывая, что, , вытекают формулы

,

.

Пример 6.5. Вычислить интеграл

Решение. Нетрудно видеть, что аналитическое продолжение удовлетворяет всем условиям теоремы 16.1 лекций, а в верхней полуплоскости находится одна особая точка – простой полюс. Применяя формулу (6.3), получим

.

Пример 6.6. Вычислить интеграл.

Решение. В данном случае, прежде воспользуемся четностью подынтегральной функции, а затем применим формулу (6.4). Получим

.

Пример 6.7. Вычислить интеграл полагая , .

Решение. Вначале вычислим вспомогательный интеграл по контуру C, показанному на рис. 15. По теореме Коши 7.1 , так как подынтегральная функция является аналитической всюду в области интегрирования, ограниченной контуром C.

Поэтому

Рис. 15. Контур к примеру 6.7

.

Полагая , для интегралов, входящих в сумму, получим

1) по лемме Жордано 16.1;

2) ; 3) ; 4)

,

где  гамма-функция (табулированная специальная функция). Окончательно . Выделяя действительную и мнимую части последней формулы, имеем

,