2. Элементарные функции комплексного переменного

   1. Представление элементарных функций комплексного переменного в алгебраической форме

Показательная функция комплексного переменного определяется равенством

Из определения видно, что это периодическая функция с основным периодом:. Основное свойство (также как у показательной функции действительного переменного).

Логарифмическая функция. Эта функция определяется как обратная показательной: число w называется логарифмом числа z, если. Обозначение:. Следующее равенство можно принять за определение логарифмической функции комплексного переменного:

.

В отличие от функции действительного переменного Ln z является многозначной функцией; значение при k = 0 называется главным значением или главной ветвью логарифмической функции в комплексной области и обозначается ln z:

Из определения вытекают основные функциональные свойства логарифмической функции:

,

Общие показательные и общие степенные функции.

Так называют функции комплексного переменного определяемые равенствами соответственно

Общая показательная и общая степенная функции комплексного переменного в являются многозначными. Тригонометрические функции определяются (посредством формулы Эйлера) через показательную:

Эти формулы также называются формулами Эйлера. По аналогии с функциями действительного переменного определяются функции tg z и ctg z:

Для тригонометрических функций комплексного переменного справедливы все формулы, справедливые для соответствующих функций действительного переменного. Для примера, исходя из формул (9.4)  (9.5), докажите равенства

, ,

, .

Гиперболические функции определяются (как и тригонометрические) через показательную функцию.

Гиперболический синус

Гиперболический косинус

Гиперболический тангенс

Гиперболический котангенс

Из определений гиперболических и тригонометрических функций вытекают формулы

, ,

, .

Замечание. Любое соотношение, справедливое между тригонометрическими функциями переходит в соответствующее соотношение между гиперболическими функциями в результате формальной замены функций и. Например, совершив указанную замену в соотношениях

,

получим следующие соотношения между гиперболическими функциями

, .

Обратные тригонометрические функции определяются как функции обратные тригонометрическим. Эти функции являются многозначными и выражаются через логарифмы комплексного переменного по формулам

,

,

Обратные гиперболические функции обозначаются соответственно Arsh z (ареасинус), Arch z (ареакосинус), Arth z (ареатангенс), Arcth z (ареакотангенс). Это опять многозначные функции, которые выражаются через логарифмы комплексного переменного по формулам

, (2.9)

, . (2.10)

2.2 Примеры с решениями В задачах 1-7 значения соответствующих функций представить в алгебраической форме.

1
2
3
4
5
6
7