2. Примеры с решениями

Пример 1.1. В задачах 1 – 6 записать данные комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. =

3. Алгебраические операции над комплексными числами

Алгебраические операции сложения и умножения над комплексными числами вводятся по правилам сложения и умножения двучленов, т.е., если

то

,

.

Для любого комплексного числа существует обратное, т.е. такое, что. Легко проверить, что этим числом является число , где – комплексно-сопряженное число.

Например, представим комплексное число в алгебраической форме.

Решение.

Умножение и деление комплексных чисел можно производить не в алгебраической, а в тригонометрической форме. Использование формул тригонометрии дает следующий результат: пусть, , , , тогда

,

.

Здесь видим простое правило: при произведении модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении модули делятся, а аргументы вычитаются.

Целая степень комплексного числа определяется многократным умножением. При этом, возможно использование формулы бинома Ньютона, а если степень не велика, то формул сокращенного умножения, например

Для возведения комплексного числа в степень удобно пользоваться не алгебраической, а тригонометрической или показательной формами записи комплексного числа. Справедлива следующая формула, которая носит название формула Муавра: для

Корень -й степени () из комплексного числа имеет различных значений, которые находятся по формуле:

,

где. Эти значения расположены на окружности радиуса с центром в начале координат и делят ее на n равных частей (т.е. при являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в эту окружность).

Пример 1.2. Найти произведение и частное чисел и.

Решение. По формулам (1.1) – (1.2)

,

.

Пример 1.3. Вычислить.

Решение. Модуль числа равен, а главное значение его аргумента. По формуле (1.3)

.

Пример 1.4. Найти все значения.

Решение. Искомые корни обозначим Модуль подкоренного числа равен 1, а аргумент (главный) равен 0. Отсюда, по формуле (1.5),

.

При , при , при . Корни уравнения показаны на рис. 10.

Рис. 10. Корни уравнения

Рис. 11. Построение области к примеру 1.5.

Пример 1.5. Построить область

на комплексной плоскости

Решение. Первая из областей () представляет собой сектор с началом в точке. Границы сектора отмечены пунктирной линией, поскольку они заданы строгим неравенством.

Вторая область представляет собой круг с центром в точке и радиусом. Граница области изображена сплошной линией, так как область задана нестрогим неравенством. Искомая область есть пересечение сектора и круга. На рис.11 эта область не заштрихована.

4. Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить, исходя из определения числа:, , , ,.

2. Найти действительную и мнимую части комплексных чисел и изобразить их на комплексной плоскости:

3. Найти модули и аргументы комплексных чисел. Изобразить числа на комплексной плоскости и записать их в тригонометрической и показательной формах:

4. Вычислить по формуле Муавра:

5. Найти все значения корней: а), б), в).

6. Найти главное значение аргумента комплексного числа.

7. Все ли заданные числа записаны в тригонометрической форме? Если нет, то записать их в тригонометрической и показательной формах: а), б).

8. Представить в тригонометрической форме число .

9. Числа, , представить в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

10. Числа, и даны в задании 9. Решить уравнения.

11. Построить линии на комплексной плоскости: 1), 2), 3), 4), 5).

12. Построить области на комплексной плоскости: