3. Функция Хевисайда и ее интегральные представления

Пользуясь формулой (16.9) можно вычислять определенные классы несобственных интегралов. Как следует из формулы, результатом вычисления будут разрывные функции переменной t. В частности, простейшей из разрывных функций является «единичная ступенька» Хевисайда. Прежде чем определить эту функцию рассмотрим пример.

Пример 16.1. Вычислить интеграл.

Решение. Функция 1/z² имеет особенность в точке z = 0 (полюс второго порядка), которая расположена слева от прямой Im z = c при c > 0. Поэтому прямая интегрирования Im z = c при c > 0 является контуром Бромвича для функции 1/z². Следовательно, применима формула (16.8). Имеем при t > 0

По формуле (16.9) получим

При t = 0 интеграл вычислен в смысле главного значения.

Опираясь на пример, можно легко получить общую формулу для степенных функций (n ≥ 2)

(16.10)

Очень важен случай n = 1. Положим для простоты a = 0:

. (16.11)

Формулу (16.9) можно применить и в данном случае. При t = 0 получим

.

Окончательно, (16.12)

Функция (t) называется единичной ступенькой или функцией Хевисайда. Формула (16.11) является интегральным представлением функции Хевисайда.

Рассмотрим другое представление функции Хевисайда. С этой целью вычислим интеграл (интеграл вычисляется в смысле главного значения,). Если воспользуемся преобразованием (16.4), получим представление функции:

при a > 0 ,

при a < 0 .

при a = 0 .

Разбивая область интегрирования в точке x = 0, преобразуем интеграл к виду. Заметим, что интеграл нечетен относительно параметра a:.

Часть 2. Решение задач по теории функций комплексной переменной

При составлении задач авторы, помимо оригинальных вариантов, руководствовались учебными изданиями [6, 7, 8]. Студентам, желающим углубить свои познания в области теории функций комплексной переменной, рекомендуются указанные книги.

1. Комплексные числа

   1. Формы записи комплексных чисел

Комплексными числами называются числа вида, где и – действительные числа, мнимая единица определена равенством. Число называется действительной частью комплексного числа и обозначается, а число– мнимой частью комплексного числа и обозначается.

Комплексное число изображается на плоскости декартовых координат (которая в этом случае называется комплексной плоскостью, а оси и - вещественной и мнимой соответственно) точкой с координатами или вектором, начало которого находится в точке О(0,0), а конец в точке.

Комплексные числа и равны, если равны их действительные и мнимые части:,. Комплексные числа и называются комплексно сопряженными числами.

1. Алгебраическая форма:. Это основная форма записи комплексных чисел, она представляется наиболее естественной, поскольку в таком виде находятся решения квадратных уравнений (с отрицательным дискриминантом), кроме того, именно в этой форме алгебраические операции (сложения, умножения и др.) над комплексными числами являются естественным распространением известных операций над двучленами.

2. Тригонометрическая форма:, где - модуль числа, - бесконечнозначный аргумент числа. Из множества значений аргумента выделяется одно, лежащее в полуинтервале, обозначаемое символом и называемое главным значением аргумента. Далее, если не оговорено, для главного значения аргумента комплексного числа используется обозначение. В следующей таблице приведены формулы вычисления аргумента для различных областей комплексной плоскости.

Таблица 1. Значения аргумента комплексного числа z

Область значений z	I, IV квадрант	II квадрант	III квадрант	,	x < 0, y = 0
Значение аргумента					π

Для комплексного числа понятие аргумента не определено.

3. Показательная форма:.

Связь между показательной и тригонометрической формами комплексного числа осуществляется формулой Эйлера: