12. Теоремы о вычетах

Теорию вычетов для вычисления контурных интегралов создал Коши в течении 1826 – 1829 годов. Основой теории являются формулы (9.1) и (9.2). Столь странное название объясняется, по-видимому, тем, что к этому понятию Коши пришел, отыскивая разность между интегралами по двум разным путям, между которыми находятся полюсы аналитической функции (то есть в результате этого вычитания и получается замкнутый контур, содержащий полюсы внутри себя). Далее, если не оговорено противное, все интегралы по замкнутому контуру берутся в положительном направлении.

Определение 12.12. Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке z₀ называется число.

Теорема 12.14. Вычет функции f(z) относительно устранимой особой точки равен нулю.

Доказательство. Устраняя особенность, рассмотрим функцию, которая, как уже отмечалось, является аналитической. Поэтому. Но на контуре интегрирования f(z) = φ(z), откуда следует утверждение теоремы.

Теорема 12.15. Вычет функции f(z) относительно полюса порядка n определяется по формуле

. (12.1)

В частности при n = 1 (простой полюс)

. (12.2)

Если же при этом функцию f(z) можно представить в виде дроби со знаменателем ψ(z₀) = 0, ψ'(z₀) ≠ 0 и, то

. (12.3)

Доказательство. Формула (12.2) следует из (12.1) при n = 1. Формула (12.3) с очевидностью следует из (12.2) ввиду того, что, поскольку ψ(z₀) = 0. Докажем (12.1). Имеем

.

Числитель получившейся дроби имеет конечный предел при z  z₀ (см. определение «полюса порядка n»). Следовательно, исходя из возможности аналитического доопределения функции, бесконечной дифференцируемости аналитических функций (свойство 6 аналитических функций) и формулы (9.2), применяемой к функции (z – z₀)ⁿ f(z), получим утверждение (12.1).

Теорема 12.16 (основная теорема о вычетах). Пусть функция f(z) аналитическая в замкнутой области за исключением конечного числа изолированных особых точек z_k  Ω, k = 1,2, … n. Тогда

. (12.4)

Доказательство. Каждую из особых точек вырежем из области Ω вместе с круговыми окрестностями |z – z_k| < r_k достаточно малых радиусов r_k, чтобы была возможность применить теорему Коши для многосвязной области. Тогда равенство (7.2) дает, где каждый из интегралов справа есть соответствующий вычет, умноженный на 2π i. Доказательство закончено.

13. Об аналитическом продолжении

Мы уже отметили ряд необычных свойств аналитических функций. Для обоснования возможности применения теории вычетов при интегрировании функций действительной переменной нам понадобится еще одно важное свойство – единственности аналитических функций. Это свойство позволяет заключить, что для определения функции, аналитической в данной области, достаточно знать значения этой функции на произвольном множестве из этой области, имеющем точку сгущения. А именно, справедливо следующее утверждение.

Теорема 13.17 (единственности). Пусть функция f(z) является аналитической в области Ω и обращается в нуль в различных точках z_n  Ω, n = 1,2,3, …. Если последовательность {z_n} сходится к пределу, принадлежащему той же области Ω, то функция f(z) тождественно равна нулю в области Ω.

Доказательство. Пусть. Аналитическая функция f(z) в окрестности этой точки представляется степенным рядом (с радиусом сходимости не меньше расстояния от точки z₀ до границы области аналитичности функции f(z)).

, (13.1)

Поскольку f(z₀) = 0, то c₀ = 0 и разложение в окрестности z = z₀ имеет вид f(z) = (z – z₀) f₁(z), где. Так как f(z_n) = 0 и z_n ≠ z₀, то f₁(z_n) = 0. В силу непрерывности  c₁ = 0  f₁(z) = (z – z₀) f₂(z), где. Аналогично предыдущему получим, что и f₂(z₀) = 0, то есть с₂ = 0. Этот процесс можно продолжать неограниченно, из чего заключаем, что все коэффициенты в разложении (13.1) равны нулю. Но это означает, что f(z) ≡ 0 внутри круга сходимости. Чтобы доказать, что f(z) = 0 в произвольной точке z₁, достаточно заметить, что путь z₀z₁ состоящий из внутренних точек области аналитичности можно покрыть конечным числом пересекающихся кругов, каждая точка которых оказывается точкой сгущения множества, где f(z) = 0. Доказательство закончено.

Эта теорема позволяет утверждать, что две функции аналитические в одной и той же области и совпадающие на некотором участке прямой или кривой совпадают. Например, элементарные функции комплексной переменной, совпадающие на действительной оси с соответствующими функциями действительной переменной – единственные, обладающие этим свойством. Более того, из теоремы единственности вытекает, что если на отрезке [a,b] действительной оси задана непрерывная функция f(x), то в некоторой области Ω комплексной переменной, содержащий этот отрезок существует только одна аналитическая функция f(z) комплексной переменной z, принимающая данные значения f(x) на отрезке [a,b]. Функция f(z) называется аналитическим продолжением функции f(x) действительной переменной x в комплексную область Ω.