2. Ряд Лорана.

Рассмотренные выше степенные ряды хорошо иллюстрируют поведение функции в окрестности «хорошей» точки. Если же точка для функции оказывается особой, например, в этой точке функция не дифференцируема, то разложение в ряды типа рядов Тейлора невозможно. О поведении функций в окрестности особых точек судят с помощью рядов Лорана. Рядом Лорана называется следующий ряд

, (10.2)

где z₀ – фиксированная точка комплексной плоскости, а c_n – некоторые комплексные числа, а суммирование ведется как по положительным, так и по отрицательным значениям индекса n. Если разделить слагаемые с отрицательными и положительными индексами суммирования, то приходим к выводу, что областью сходимости такого ряда может быть кольцо R₁< |z – z₀| < R₂, где круг |z – z₀| < R₂ – область сходимости ряда с положительными индексами суммирования, а внешность круга |z – z₀| > R₁ – область сходимости ряда с отрицательными индексами суммирования. Также как в случае с рядами Тейлора функция f(z) аналитическая в круговом кольце R₀< |z – z₀| < R₁ однозначно представляется в этом кольце рядом Лорана. При этом количество членов с отрицательными индексами суммирования характеризует тип особенности аналитической функции в точке z₀.

Пример 10.1. Функция не определена при z = 0. При z ≠ 0 ее можно представить в виде ряда, если воспользоваться рядом Тейлора для функции sin z:.

. (10.3)

Отсюда видим, что хотя данная функция f(z) не определена при z = 0, существует. Если доопределить функцию f(z), положив f(0) = 1, то мы получим функцию, представленную всюду степенным рядом (10.3) и, поэтому, аналитическую во всей комплексной плоскости (точка z = 0 называется в связи с этим устранимой особой точкой). Но если бы вместо этой функции мы рассмотрели бы функцию (k = 1,2, … ), то теми же действиями получили бы ряд Лорана, содержащий k членов с отрицательным индексом суммирования (такая точка называется полюсом порядка k).

11. Особые точки аналитической функции.

Точки, в которых нарушается аналитичность однозначной функции f(z), будем называть особыми точками аналитической функции. Рассматриваются только изолированные особые точки, то есть когда существует окрестность, не содержащая других особых точек.

1. Классификация особых точек

Пусть функция f(z) – аналитическая в некоторой окрестности точки z₀, исключая саму точку z = z₀. Выделим три типа особых точек.

1. Точка z₀ называется устранимой особой точкой функции f(z), если существует. Такое название связано с тем, что, доопределив функцию f(z) в точке z₀ (положив f(z₀) = C), мы получим не только непрерывную функцию, но и аналитическую (доказательство можно найти в [2], стр. 113).

2. Особая точка z₀ называется полюсом порядка n (n > 0), если существует, 0 < |C| <∞. При n = 1 полюс называется простым.

3. Точка z₀ называется существенно особой точкой функции f(z), аналитической в некоторой проколотой окрестности этой точки, если не существует.

Методика определения особых точек типа полюс вытекает из следующих теорем.

Теорема 11.11. Для того, чтобы точка z = z₀ была нулем аналитической функции g(z) порядка m , то есть чтобы, где ψ(z) – аналитическая функция, в некоторой окрестности точки z₀ ( ψ(z₀) ≠ 0 ), необходимо и достаточно, чтобы наименьший порядок производной в точке z₀ отличной от нуля был равен m , то есть

g(z₀) = g'(z₀) = … = g^(m–1) (z₀) = 0 , g^(m)(z₀) ≠ 0. (11.1)

Доказательство. Необходимость условия (11.1) практически очевидна: каждое слагаемое в выражении для g^(k)(z) при k < m содержит множитель (z – z₀) не менее чем в первой степени. Докажем достаточность. Так как функция g(z) аналитическая окрестности точки z₀, то в этой окрестности точки z₀ она представляется своим рядом Тейлора, где первые m слагаемых равны нулю вследствие условия (11.1). Но тогда

,

где ψ(z) – сумма степенного ряда, который имеет тот же радиус сходимости, что и ряд для функции g(z), поэтому (см. замечание 10.1) ψ(z) – аналитическая функция. Доказательство закончено.

Теорема 11.12. Для того, чтобы точка z = z₀ была полюсом функции f(z) необходимо и достаточно, чтобы эта точка была нулем функции.

Доказательство. Пусть z₀ – ноль функции g(z) порядка k, т.е. g(z) = (z – z₀)^k ψ(z), где ψ(z) аналитическая функция и ψ(z₀) ≠ 0. Тогда

, что по определению означает, что z₀ – полюс порядка k функции f(z). Пусть наоборот, точка z₀ – полюс порядка k функции f(z). Тогда, где ψ(z) – функция, аналитическая в точке z = z₀ и ψ(z₀) ≠ 0. Доказательство закончено.

Следствием из этих двух теорем является следующее утверждение.

Теорема 11.13. Для того, чтобы точка z = z₀ была полюсом порядка m для функции f(z) необходимо и достаточно, чтобы функцию можно было представить в виде

, (11.2)

где ψ(z) – функция аналитическая в точке z₀ и ψ(z₀) ≠ 0.

Упражнения. Определите типы особых точек для следующих функций:

1.; 2.; 3.; 4..