4. Нелинейные зависимости

Есть два подхода для проведения анализа данных, если функция спроса не является линейной:

- параметрический

- непараметрический

В первом случае подбираем подходящее семейство функций и по результатам измерения (опроса) оцениваем параметры. Пример: степенное семейство:

D(p) = cp^-.

При этом полезно преобразование переменных, приводящее задачу к линейному виду. В случае степенного семейства необходимо прологарифмировать обе части последнего равенства. Тогда получим:

ln D(p) = ln c + ln p.

Затем обозначим:

у = ln D(p), x = ln p, b =ln c.

Исходя из введенных обозначений, имеем линейное уравнение:

у = x + b.

Задача оценивания параметров степенной зависимости сведена к ранее рассмотренной задаче оценивания параметров линейной функции.

Аналогично линейному случаю, определим оптимальную розничную цену p_опт. при различных значениях издержек. А именно, решим задачу:

(p – p_0.)D^*(p)

в случае степенной зависимости:

(p – p_0.)с^*p^-α*→ _.

Точка, в которой достигается максимум, не меняется при умножении максимизируемой функции на константу. Поэтому переходим к задаче:

(p – p_0.)p^-α* = f(p)→ _.

Для нахождения максимума функции продифференцируем ее и приравняем производную к 0:

_.

Продифференцируем f(p), используя правило дифференцирования произведения функций:

^-α* + (p – p₀)( -α^*) p^{-α* -1} =0.

Вынесем общий множитель за скобки:

p^-α*-1[p + (p – p₀))(-α^*)] =0.

Сократим на ненулевой множитель (p^-α*-1):

p + (p – p₀))(-α^*) = 0.

Итак, необходимо решить линейное уравнение относительно неизвестного p:

p – α^*p + p_0.α^* = 0.

Сгруппируем члены с p:

(1 – α^*)p = - p_0.α^*.

Получим оптимальное значение розничной цены:

p_опт. =

Непараметрический подход применяется тогда, когда подходящее семейство функций подобрать не удается. Тогда используют подходы на основе непараметрических оценок плотности распределения.

5. Критерий проверки правильности расчетов

Из теории метода наименьших квадратов известно условие точности вычислений -при отсутствии ошибок в вычислениях сумма исходных значений должна равняться сумме восстановленных. На основе этого условия сформулируем приблизительный критерий проверки правильности расчетов:

В соответствии с данными табл.2:

В соответствии с данными табл.4: В соответствии с данными табл.5:

Такие значения в рассматриваемом случае вполне приемлемы.

6. Способы оценивание точности восстановления зависимости

Рассмотрим три способа оценивания точности восстановления зависимости.

В точках t_i, i = 1, 2, …, n, имеем по два значения функции - исходное x_i и восстановленное x^*(t_i). При оценивании функции спроса это D(p_i) и D*(p_i) соответственно. В табл.2 и 4 приведены значения D(p_i), D*(p_i) и D(p_i) – D*(p_i). Третье из этих чисел – абсолютная погрешность. Полезно рассмотреть и относительную погрешность:

, i = 1, 2, …, n.

По данным табл.4 это такие числа (приведены без повторений):

, , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , ,

Ясно, что из этих 23 чисел самыми большими являются:

двадцать третье = 5,614

двадцать первое = 0,309

пятнадцатое = 0,112

При этом 23 значение находится в области, для которой оценка спроса D*(p) отрицательна (т.е. при цене p = 700 руб.). Т.о., относительная погрешность не превосходит 0,112 (11,2%) при p 420 руб.

О достигаемой точности восстановления функции свидетельствует также ширина доверительного интервала.

При p = 450

D^*(450)_верхн. = 19,366 + 0,434 = 19,8

D^*(450)_нижн. = 19,366 - 0,434 = 18,9

D*(450)_верхн. – D*(450)_нижн. = 2 * 0,434 = 0,868

Относительная погрешность такова:

= = 0,0448 (4,48%)

При p = 470

D^*(470)_верхн. = 17,4476 + 0,461 = 17,9086

D^*(470)_нижн. = 17,4476 - 0,461 = 16,9866

D*(470)_верхн. – D*(470)_нижн. = 2 * 0,461 = 0,922

Относительная погрешность такова:

= = 0,053 (5,3%)

Таким образом, точность оценивания уменьшается по мере удаления от p_ср., особенно при увеличении p. Т.е. при приближении к области отрицательности D*(p) точность оценивания уменьшается.

Чтобы еще одним способом выявить роль погрешностей в прогностической формуле, рассмотрим формальный предельный переход, когда p→∞, тогда значения: 62,53; 1/50; 374,8 в выражении (см. выше):

D*(p)_{верхн./нижн} = (-0,9595)p_i + 62,53 _2,744

становятся малыми по сравнению с остальными составляющими, следовательно, ими можно пренебречь. Получаем:

D*(p)_{верхн./нижн} = (-0,9595)p_{i =} [(-0,09592)± 0,0026]p.

В формулу подставляем цену, которую готовы заплатить 30% опрошенных (в данном дз нет такой ситуации), и получаем относительную погрешность.

13