Динамика плоско-параллельного движения тела.

Как было сказано в разделе кинематики плоско-параллельного движения тела достаточно рассмотреть движение плоской фигуры, задаваемым уравнением движения полюса и уравнением вращения фигуры

Задачей динамики плоско-параллельного движения тела является нахождение полученных уравнений по заданным силам (это основная задача динамики) или определение сил по заданному движению твёрдого тела, часто встречаются смешанные задачи, когда между величинами, определяющими положение тела, имеются наперед изве­стные соотношения, а действующие силы частью известны, частью должны быть определены по ходу решения задачи.

Теорема о движении центра инерции дает первое соотношение (101) при условии поступательного движения подвижной системы координат:

(102)

Векторное равенство (102) можно проектировать на те или иные оси. Проектируя его на оси неизменного направления х, у, получим два уравнения:

, (103)

в которых и обозначают координаты центра инерции.

Часто применяют также проектирование на касательную () и главную нормаль () плоской траектории центра инерции :

, . (104)

Здесь ρ- радиус кривизны траектории центра инерции. Дифференциальное уравнение вращения составим, применив тео­рему об изменении момента количеств движения по отношению к центру инерции. В случае плоского движения твердого тела относительным движением по отношению к центру инерции является вращение тела с его угловой скоростью со вокруг оси, перпен­дикулярной к плоскости движения и проходящей через центр инер­ции С. Второе соотношение (101) даёт

Таким образом, в декартовой системе координат уравнения плоскопараллельного движения будут

,

. (104)

Если тело совершает несвободное движение, то в выражение главного вектора сил следует наряду с задаваемыми силами включить и реакции связей.

Рассмотрим далее подробно часто встречающуюся задачу движения колеса по шероховатой плоскости. При качении цилиндра (колеса) контакт между колесом и поверхностью происходит не в точке, а из-за деформации колеса или самой поверхности реакция поверхности распределена на некотором участке. Так как рассматривается плоское движение, то и распределённую реакцию образует плоская система сил, которая может быть заменена равнодействующей. Рассмотрим два случая: движение под действием силы, приложенной в центре колеса и под действием крутящего момента. На рис.57 показаны все силы, действующие на колесо. Разложим реакцию F на две составляющие: вертикальную N и горизонтальную T. Составим дифференциальные уравнения движения

Индекс «С» в дальнейшем будем опускать, здесь r радиус колеса, k- коэффициент трения качения. Для определённости пусть момент инерции равен . Так как колесо движется горизонтально, не подпрыгивая, то из второго уравнения следует . Возможны два вида движения: без скольжения, тогда мгновенный центр скоростей находится в точке Р, и со скольжением. Для первого случая можно записать условие тогда, разделив третье уравнение на r и сложив первое и полученное третье уравнения получим

откуда имеем

. (106)

Определим из первого уравнения (105) силу Т, которую по смыслу можно назвать силой трения между колесом и поверхностью. Подставив (106) в первое уравнение (105) получим , при этом . Если сила Q больше, то уравнения движения запишутся так

То-есть два независимых уравнения для . В случае, если колесо не двигалось, и , то колесо будет скользить и не вращаться, т.е. двигаться поступательно. Рассмотрим вторую задачу: колесо движется под действием момента (на рис. (58) он показан изогнутой стрелкой) М.

Уравнения движения запишутся в виде

, , .

Пусть колесо движется без скольжения, тогда

,

Как и в предыдущей задаче возможны два вида движения: без скольжения, тогда мгновенный центр скоростей находится в точке Р, и со скольжением. Для первого случая можно записать условие тогда, разделив третье уравнение на r и сложив первое и полученное третье уравнения получим (при этом Т сократится)

.

Сила Т, которую и здесь назовём силой трения, будет равна

т.е. скольжение колеса будет происходить, если .

Если это условие выполняется, то получаем два независимых уравнения для движения центра колеса и его вращения

, .

Реакция оси вращающегося тела.

Рассмотрим ещё одну задачу на применение общих теорем динамики твёрдого тела: на вопросе об определении реакций в точках закрепления оси вращающегося твердого тела.

Примем ось вращения за ось Oz, поместив начало системы осей , связанных с телом, в закрепленной точке (подпятник); в точке на расстоянии помещен подшипник оси вра­щения.

Применим обе теоремы: освободив мысленно тело от опорных закреплений =,и введём в рассмот­рение искомые реакции и . Запишем теорему о движении центра масс

где - вектор угловой скорости тела, - скорость центра инерции, - его вектор-радиус. Вычислим кинетический момент (по второй формуле (101) . Спроектируем полученные уравнения на оси координат жестко связанные с телом, заметим, что . Тогда первая группа уравнений имеет вид

, , .

Перейдём ко второй группе и рассмотрим сначала второе слагаемое

,

после чего можем записать три уравнения

, ,

Рассматриваемую задачу можно решать и методом кинетостатики, для чего надо ввести силы инерции и моменты сил инерции ( на рисунке и ). Будем считать, что тело вращается под действием крутящего момента , тогда проектируя и на оси координат получаем шесть уравнений

,

,

, (108)

,

,

.

Первые пять уравнений служат для определения пяти реакций , а последнее для определения угловой скорости. Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Если тело не вращается, то мы имеем 5 уравнений статики, из которых определяем 5 статических реакций.

2. Интегрируя последнее уравнение (108), получаем . Тогда можно определить те динамические добавки к статическим реакциям, возникающие от вращения тела. Всегда можно выбрать оси таким образом, чтобы центр масс находился, к примеру, в плоскости Oyz, тогда и имеем

,

,

, (109)

.

3. Пусть ось вращения – центральная ось, тогда и , т.е. и или . Дополнительное воздействие вращающегося тела на ось вращения приводится к паре сил и величина момента этой пары равна . В этом случае говорят, что тело статически уравновешено.

4. Пусть ось вращения главная ось инерции в точке пересечения оси вращения и плоскости перпендикулярной оси вращения и проходящей через центр масс ( нецентральная ось не может быть главной во всех своих точках), тогда и пусть расстояние от выбранной точки пересечения до подшипников равно а и в (). Тогда уравнения (109) следует переписать так

,

,

, .

Из последних двух формул следует и

, , , .

Динамические реакции представляют параллельные силы, и в этом случае говорят, что тело динамически уравновешено.

26