Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.

Напомним, что момент количества движения системы или кинетический момент определяется выражением

,

Продифференцируем написанное выражение по времени

Первое слагаемое равно нулю как векторное произведение равных векторов (ведь ), а второе

В правой части первое слагаемое – главный вектор внешних сил, а второе- главный вектор внутренних сил, который равен нулю. Итак, окончательно имеем

(28)

Это соотношение выражает теорему об изменении кинетического момента:

векторная производная по времени от главного момента количества движения системы равна главному моменту внешних сил, приложенных к системе. Равенство нулю главного момента внутренних сил приводит к заключению, что внутренние силы не могут влиять на измене­ние кинетического момента системы.

Формула (28) оказываются существенно необходимой при изучении динамики враща­тельных движений твердого тела или системы тел.

С помощью этих двух фундаментальных законов

, (29)

можно получить дифференциальные уравнения движения твёрдого тела и системы тел.

В разделе статика указывалось, что необходимыми и достаточными условиями равновесия являлись равенство нулю главного вектора и главного момента сил. Уравнения (29) можно переписать в похожей на уравнения статики виде

(30)

Эти уравнения называются уравнениями кинетостатики, где индекс a обозначает активные силы и моменты активных сил, r – силы реакций и моменты сил реакций, а индекс - силы инерции и моменты сил инерции, которые равны , (31)

1. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.

Скорость точек тела, вращающегося относительно неподвижной точки, определяется формулой или в проекциях на оси декартовой системы координат

Подставляя полученные формулы в выражение (23), получаем

(32)

Раскрывая полученные произведения и приводя подобные члены при проекциях угловых скоростей, заметим, что мы получаем одинаковые сомножители типа

(33)

(34)

Формулы (33) носят названия осевых моментов инерции. Моментом инерции системы материальных точек относи­тельно оси называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний до оси, а (34) – центробежные моменты инерции. формулы (33) и (34) для сплошного твёрдого тела можно записать в интегральной форме

(33а)

(34а)

Тройной интеграл берётся по объёму всего тела. Подставим полученные моменты инерции в (32)

(35)

Выражение (35) можно представить в матричной форме

(36)

здесь - вектор столбец кинетического момента, - вектор столбец угловой скорости, а - матрица моментов инерции тела.