Вычисление моментов инерции.

Вычисление моментов инерции тел производится методами интегрального исчисления (по формулам 33а, 34а). Однако можно в некоторых случаях сосчитать моменты инерции простых тел, без вычислений тройных интегралов.

1. Момент инерции тонкого однородного стержня (рис. 54).

Направим ось ОХ по стержню, а ось ОY перпендикулярно, через центр стержня.

,

здесь δ -плотность стержня, S - площадь поперечного сечения. Тогда, вместо тройного интеграла можно написать

,

но , откуда . Ось ОZ –главная ось инерции ( ось симметрии), следовательно, .

2. Момент инерции однородного круглого цилиндра относительно его оси.

За элемент объема примем цилин­дрический слой, образуемый двумя коа­ксиальными цилиндрами радиусов h и h+dh. Получим:

С другой стороны, , где R — радиус цилиндра, следовательно .

Момент инерции полого цилиндра с внешним радиусом R и внутренним Ro найдем как разность моментов инерции сплошных цилиндров этих же радиусов:

Итак, момент инерции полого цилиндра равен

,

где М - масса полого цилиндра. Моменты инерции некоторых однородных тел приведены в таблице. Момент инерции имеет размерность массы, умноженной на квадрат длины. Отношение имеет размерность квадрата длины и обозначается через . Величина ρ-называется радиусом инерции и

. (61)

Преобразование моментов инерции.

1. Рассмотрим задачу об изменении моментов инерции относительно параллельных осей. Введём две системы координат: Оxyz и O'x'y'z'. Связь между координатами в обеих системах запишется в виде:

По определению моментов инерции имеем

.

Первое слагаемое – это момент инерции относительно оси O'Z', а по определению центра масс последние два слагаемые есть .

Окончательно получаем

.

Если начало координат О' является центром масс тела, то (ось O'Z' в этом случае является центральной) и получаем известную формулу Гюйгенса (62)

Момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями. Следствием формулы (62) является утверждение, что момент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции, меньше момента инерции относительно другой параллельной оси. Аналогично получаются формулы для осевых моментов инерции для двух других осей.

Но остаётся вопрос: а как изменяются центробежные моменты, остаются ли главными новые оси инерции? В новых осях центробежные моменты имеют вид

Если все три оси системы O'x'y'z' являлись главными и центральными, то и новые оси также будут главными и центральными ( начало О' находилось в центре масс). Если все три оси главные, но при этом, например, только ось O'Z' - центральная (, а ), то ось O'Z' перестаёт быть главной, она будет главной только в точке, где .

2. Рассмотрим теперь, как изменяются моменты инерции при повороте системы координат (рис.56). В этом случае

(64)

=

Преобразуем интеграл

тогда окончательно получим

. (65)

Для двух остальных центробежных моментов инерции получим

Из приведённых формул видно, что при повороте вокруг главной оси O'Z' оси OX и OY перестают быть главными. Но из формулы (65) следует интересный вывод: если оси OX' и OY' не главные, то поворотом на угол

оси OX и OY становятся главными.

Осевой момент инерции при повороте, очевидно, не меняется, а два остальных изменятся. Действительно (в дальнейшем будем осуществлять переход от осей Оxyz к осям O'x'y'z', при этом ) для получим

(66)

Проведя те же выкладки для , имеем

Анализируя полученные результаты для осевых моментов инерции, можно записать

Мы получили первый инвариант тензора инерции.

Рассмотрим пример. Найти со­отношение между радиусами ци­линдра и его дли­ной l, при котором тензор инерции полого ци­линдра в его центре инерции явля­ется шаровым тензором. Вводя систему осей х,у,z с началом в точке С правим ось z вдоль геометриче­ской оси цилиндра. Формулы для моментов инерции в данном случае пре­образуются к виду

(67)

Применяя цилиндрические координаты, имеем где объем V полого цилиндра дается формулой .

Тогда интегралы, входящие в формулы (67), вычисляют­ся так:

(68)

.

Шаровой тензор имеет равные осевые моменты инерции, т.е. , согласно результатам (68) это будет иметь место при .

Кинетический момент твердого тела.

Кинетический момент (главный момент количеств движе­ния) системы материальных точек относительно неподвиж­ной точки О определяется формулой

(69)

Здесь векторы-радиусы проводятся из неподвижной точки О. Для твердого тела сумма в формуле (69) заменя­тся интегралом

(69а)

где интегрирование производится по объему, занимаемому твердым телом.

Пусть известна скорость некоторой точки А твердого тела (полюса) , а также его угловая скорость ; по известной формуле кинематики скорость любой точки твердого тела и ее вектор-радиус выражаются формулами

; (70)

где - вектор-радиус, проведенный из полюса А в эту точку. Подставляя формулы (70) в кинетический момент (69а), вынося векторы, не зависящие от положения текущей точки, за знак интеграла, получаем

(71)

Первые два интеграла в формуле (71) имеют простой смысл:

(72) для преобразования последнего интеграла (43) раскроем двойное векторное произведение, после чего используем свой­ство единичного тензора и определение тензора инерции (50); тогда

(73)

Учитывая результаты (72) и (73), приводим выражение кинетического момента твердого тела к окончательному виду

. (74)

Если за полюс взять центр инерции твердого тела, то и формула (74) упрощается

(75)

Если твердое тело вращается вокруг неподвижной точки О, то и в результате имеем (76)

Умножая тензор инерции скалярно на вектор угловой скоро­сти ( так как тензор инерции симметричен, то его можно умножать на вектор как слева так и справа) получаем развернутое представле­ние формулы (76)

(77)

Из этого последнего представления сразу следуют выра­жения для кинетических моментов твердого тела относитель­но координатных осей:

⁽⁷⁸⁾

Тензорная формула (76) является краткой записью этих соотношений. Если оси х, у, z главные, то центробежные мо­менты инерции равны нулю и формулы (77) и(78) для этого слу­чая упрощаются:

(78а)

Из формул (78а) отчетливо видно, что кинетический мо­мент тела, вращающегося вокруг точки, не совпадает по на­правлению с вектором его угловой скорости; такое будет иметь место лишь в случае, когда тензор инерции явля­ется шаровым тензором.

Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, например, оси z, то

и формула (77) дает

. (79)