17. Одноканальная смо с ограниченным ожиданием (m/m/1/k).
В этой модели количество мест в очереди равно k, что и накладывает ограничение на время ожидания каждого требования, т. е. (W<k/). Время ожидания не превышает k обсл.
Будем нумеровать состояния СМО по числу требований, находящихся в системе.
S0 – канал свободен
S1 – канал занят, очереди нет
…
Sk+1 – канал занят, в очереди k заявок
Пользуясь общим решением схемы «гибели и размножения» и введя обозначение =/, получим:
Выражение для p0 справедливо для <1, при:
Заявка получает отказ, когда все k мест в очереди заняты:
Оставшаяся доля заявок будет обслужена, поэтому относительная пропускная способность:
Абсолютная
пропускная способность: A=
q.
Выводы
выражения для среднего времени ожидания
пребывания в очереди (W).
Любая заявка с вероятностью p0
не будет ждать обслуживания (время
ожидания=0), с вероятностью p1
будет ждать одного обслуживания (время
ожидания=
),
с вероятностью p2
будет ждать одного обслуживания (время
ожидания=
)
и т. д.
Время обслуживания X равно 1/, если заявка обслуживается и X=0, если она получила отказ.
18. Одноканальные замкнутые смо (m/m/1/k/l).
Одноканальные замкнутые СМО (M/M/1/k/l).
Характерным для замкнутой системы массового обслуживания является наличие ограниченного числа источником заявок и, следовательно, интенсивность входного потока зависит от состояния самой системы.
В сущности, любая СМО имеет дело только с ограниченным числом источников заявок, но в ряде случаев число этих источников так велико, что можно пренебречь влиянием состояния СМО на поток заявок (АТС крупного города).
В замкнутой СМО источники заявок, наряду с каналами обслуживания, рассматриваются как элементы СМО.
Пусть m – число каналов обслуживания, l – число источников заявок, k – число мест в очереди (kl-1), - интенсивность обслуживания.
S0 – канал свободен
S1 – канал занят, очереди нет
Sl – канал занят, в очереди l-1 требований
Из
состояния S0
в
состояние S1
систему
переводит поток l,
из S1
в S2
уже (l
-1)
,
т. к. один источник заявок не функционирует
и ожидает обслуживания. Из S2
в S3
в имеем поток (l
-2)
и т. д.
kl-1
Пользуясь общим решением для схемы гибели и размножения, напишем:
Относительная пропускная способность q=1, Pотн=0 т. к. каждое требование будет, в конце концов, обслужено.
Pзан=(1–p0) – вероятность, что канал занят. Занятый канал обслуживает в среднем требований в единицу времени, следовательно, абсолютная пропускная способность:
В СМО в среднем работает (l-N) источников заявок, каждый из которых поток интенсивность которого =.
Общий
поток требований (l-N)
будет обслужен и, следовательно, равен
абсолютной пропускной способности:
Откуда среднее число требований, находящихся в СМО:
Значение N можно вычислить непосредственно:
Среднее число требований, находящихся в обслуживающем устройстве равно:
Среднее число требований, ожидающих обсл. в очереди:
Эта система является саморегулируемой. Когда она перегружается, т. е. Образуется большая очередь, то интенсивность поступления дополнительных требований убывает.
Если kl-1
Пример. Система коллективного доступа реализует вычислительный процесс, обрабатывая запросы трех других периферийных систем обработки информации.
Определить эксплуатационные характеристики системы.
Решение.
Вероятность занятости системы коллективного доступа:
Абсолютная пропускная способность системы:
Среднее число запросов в системе:
Среднее число требований в обслуживающем устройстве:
Среднее число требований в ожидающем устройстве:
