7. Замкнутая многоканальная смо (m/m/m/k/l)

Эта достаточно общая система является наиболее сложной из рассмотренных и при соответствующем выборе параметров может быть сведена к любому предыдущему случаю.

Предполагается, что имеется конечное число источников требований (l). Интенсивность каждого генератора требований – .

Система содержит m обслуживающих приборов, каждый из которых характеризуется параметром . Наконец в системе имеется конечное число мест для ожидания, такое, что m+k  l.

Это приводит к следующему множеству параметров процесса гибели и размножения:

Обозначая ^/_=, получим:

Среднее число занятых каналов:

Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем  требований, то абсолютная пропускная способность:

В СМО в среднем работает (l-N) источников, каждый из тех порождает поток :

Среднее число требований, ожидающих обслуживание:

Q=l-V(¹/_+1); W=^Q/_A

Q=N–V

8. Распределение числа требований в системе m/g/1/

Предположим, что все требования обслуживаются в порядке поступления.

Установим связь между случайными величинами:

– число требований, остающихся в системе в момент ухода

требования ;

– число требований, остающихся в системе в момент ухода требования ;

Рассмотрим два случая:

Первый имеет место, когда уходящее требование не оставляет систему пустой, то есть

-время обслуживания

- число требований за

случай

Так как требования покидает систему

Второй случай имеет место, требование оставляет систему пустой, то есть , тогда

случай

Обобщая оба случая, приходим к выводу, что система M/G/1 характеризуется равенством:

Определим производящую функцию случайной величины :

и производящую функцию предельной случайной величины :

Образуем производящую функцию от полученного равенства

так как случайная величина - число требований поступивших за

не зависит от – число требований в системе в момент ухода требования ,

тогда

где

так как входящий поток – пуассоновский, то имеем:

Меняя порядок операций суммирования и интегрирования, получаем:

Так как

Определяем теперь преобразование Лапласа плотности времени обслуживания: .

Сравнивая , получим важный результат:

.

Преобразование Лапласа плотности вероятности времени обслуживания в точке равно производящей функции распределения вероятностей числа требований за время одного обслуживания .

Итак:

;

.

Теперь отдельно рассмотрим

Решая относительно , получим первое уравнение Поллячика-Хинчина для преобразований:

9. Распределение времени пребывания в системе m/g/1

Учитывая , первое уравнение Поллячика-Хинчина можно записать в виде:

Введя замену переменной , имеем

Это второе уравнение Поллячика-Хинчина для преобразований даёт выражение преобразования Лапласа распределения времени пребывания требования в системе.

Так как и учитывая, что – время обслуживания требования не зависит от – времени ожидания этого требования в очереди и, что при сложении двух независимых случайных величин перемножаются преобразования Лапласа соответствующих функций распределения, получаем третье уравнение Поллячика–Хинчина для преобразования Лапласа распределения времени ожидания требования в очереди, то есть

Различные производные производящей функции, вычисленные в точке z=1, дают возможность вычислить соответствующие моменты рассматриваемой случайной величины:

Точно также для непрерывных случайных величин можно найти моменты, вычисляя в точке соответствующие производные преобразования Лапласа рассматриваемой случайной величины:

Используем теперь равенство для получения моментов случайной величены

Полагая теперь , то есть , имеем

Мы получили хорошо обоснованное заключение о том, что ожидаемое число поступающих требований за время одного обслуживания равно , что согласуется с полученными ранее результатом для G/G/1.

Уравнение Поллячика-Хинчина для преобразований позволяет найти моменты распределения числа требований в системе:

Дисперсия случайной величины x или второй центральный момент

здесь:

– второй начальный момент;

– квадрат первого начального момента;

Если обозначить:

– нормированная дисперсия;

– стандарт;

– коэффициент вариации;

То учитывая:

Это и есть результат, к которому мы стремились. Это выражение представляет собой среднее число преобразований в системе M/G/1, которое обычно называют формулой Поллячика - Хинчина для среднего значения.

Среднее число преобразований в очереди

так как из анализа системы G/G/1 следует, что

В качестве примера применения формулы Поллячика–Хинчина рассмотрим систему M/M/1

В качестве второго примера рассмотрим регулярное обслуживание, то есть систему M/D/1

Таким образом, система типа М/D/1 содержит на требований меньше, чем система М/М/1.

Для системы M/E_r/1

Это позволяет сделать вывод, что

Для системы G/G/m Кингман получил следующую оценку времени ожидания в очереди:

– дисперсия промежуточного интервала времени между прибытиями;

– дисперсия времени обслуживания;

– математическое ожидание времени обслуживания;

– математическое ожидание интервала между прибытиями;

– коэффициент обслуживания

Численные исследования показывают, что приближения ухудшается с увеличением и , и улучшается с увеличением .