8. Нестационарный теплообмен

Нестационарными тепловыми процессами называют процессы теплообмена, протекающие в изменяющемся во времени температурном поле. Особенностью этих процессов является непрерывное изменение теплосодержания тел и связанное с этим их нагревание или охлаждение. Чаще всего нестационарный теплообмен наблюдается в периодически действующих аппаратах (нагревание или охлаждение твердых тел, неподвижных масс жидкостей, кристаллизация из растворов и расплавов, процессы в химических реакторах и т.д.). В непрерывно действующих теплообменных аппаратах нестационарный перенос тепла возникает лишь в периоды пуска, остановки или изменения режима их работы.

При расчете нестационарных процессов теплообмена определяют либо время, необходимое для нагревания или охлаждения до заданной температуры, либо конечную температуру, которая достигается за то же время, а также количество тепла, переданное телу или отнятое от него. В случае жидких или газообразных веществ определяют лишь зависимость их средней температуры от времени, так как температура жидкости и газа всегда выравнивается за счет конвекции, сопутствующей теплопроводности.

Нестационарная теплопроводность. Нестационарные процессы теплопроводности протекают в случае нагревания или охлаждения твердых тел при их непосредственном соприкосновении с горячими или холодными потоками жидкостей или газов.

На рис. 7.24 показан характер изменения температур на поверхности t_пов и в глубине тела t_гл, внесенного в среду с более высокой температурой t_ж.

Рисунок 7.24 – Характер изменения температуры тела во времени

Любой процесс нагревания или охлаждения тела можно разделить на три режима. Первый из них охватывает начало процесса и характеризуется постепенным изменением температуры в глубь тела (участок τ₁). При этом скорость изменения температуры в отдельных точках различна, а температурное поле зависит от начального распределения температур в теле. Этот режим носит название неупорядоченного. В дальнейшем влияние начального распределения температур в теле исчезает, и относительная скорость изменения температуры в каждой точке тела становится постоянной величиной, зависящей от формы и размеров тела, его теплофизических свойств, условий теплообмена на поверхности тела. Такой упорядоченный режим нагрева назван регулярным (участок τ₂). По истечении длительного времени (теоретически по истечении бесконечно большого времени) наступает третий, стационарный режим, характерной особенностью которого является постоянство распределения температур во времени, в каждой точке тела . Если температура во всех точках тела одинакова и равна температуре окружающей среды, то наступает режим теплового равновесия.

Решение задачи нестационарной теплопроводности заключается в определении зависимости изменения температуры во времени для любой точки тела t и количества подведенной или отведенной теплоты. Это может быть осуществлено аналитическим путем в результате решения дифференциального уравнения теплопроводности (7.23) при Q = 0 совместно с условиями однозначности.

Для технических целей в большинстве случаев ограничиваются рассмотрением течения процесса лишь в одном каком-либо направлении – направлении Х, например. В этом случае

.

Краевыми условиями для аналитического решения дифференциального уравнения теплопроводности являются: а) начальное распределение температуры в теле и б) действие на поверхность тела окружающей среды. Последнее условие может быть задано тремя способами:

1) распределением температуры на поверхности тела t_пов в любой момент времени τ – граничное условие 1-го рода;

2) распределением плотности теплового потока по поверхности тела q_пов во времени – граничное условие 2-го рода;

3) распределением температуры окружающей среды t_ж и коэффициентом теплоотдачи от поверхности тела к этой среде:  – граничные условия 3-го рода.

Тогда дифференциальные уравнения теплопроводности для тел различной геометрической формы принимают следующий вид.

Для плоской неограниченной стенки толщиной 2δ, омываемой жидкостью с температурой t_ж ,

. (7.199)

Краевые условия при этом:

; ;

; ,

где t₀ – температура в начальный момент времени, равная температуре поверхности стенки.

Для сплошного цилиндра неограниченной длины

. (7.200)

Краевые условия:

; ;

; ,

(R – радиус сечения цилиндра).

Для сплошного шара с радиусом R

. (7.201)

Краевые условия:

; ;

; .

Решение уравнений (7.199) – (7.201) ввиду их сложности приводятся в специальной литературе.

Предложены приближенные методы расчета, в которых пренебрегают наличием начального, неупорядоченного режима, характеризуемого неравномерным изменением температуры тела, и задачу решают относительно регулярного теплового режима. Для этого режима влияние начального распределения температуры несущественно и процесс определяется условиями теплообмена на границе твердое тело–жидкость (газ), физическими свойствами, геометрической формой и размерами тела. Для него характерна линейная зависимость

или . (7.202)

Величина m в уравнении (7.202) является положительным числом, сохраняющим одно и то же значение для любой точки тела. Это число характеризует собой скорость охлаждения тела и называется темпом охлаждения; оно полностью определяется формой и размерами тела, значением тепловых параметров (a, , ), интенсивностью теплообмена с окружающей средой и не зависит от начальных условий. Для ее определения достаточно измерить температуры тела t₁ и t₂ в произвольной точке тела в два определенных момента времени τ₁ и τ₂:

.

В соответствии с теорией регулярного режима, разработанной Г.М. Кондратьевым, темп охлаждения m

, (7.203)

где – средний перепад температур по поверхности; – средний перепад температур по объему тела; F и V – поверхность и объем тела; с_р – удельная теплоемкость тела;  – безразмерный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом неравномерности распределения температуры в теле и зависящий для данного тела от условий теплообмена между его поверхностью и окружающей средой, т.е. от критерия Био (Bi = (l/); l – характерный линейный размер тел.

При () распределение температуры в теле будет зависеть лишь от его размеров и физических свойств, поэтому и . При () благодаря большой интенсивности внешнего теплообмена температура на поверхности стремится к температуре окружающей среды t_ж, и . В этом случае между темпом охлаждения и температуропроводностью тела а существует следующая зависимость:

. (7.204)

Коэффициент С зависит только от геометрической формы и размеров тела:

– для плоской неограниченной стенки толщиной 2δ ;

– для шара радиусом R ;

– для цилиндра радиуса R и длиной l ;

– для параллелепипеда со сторонами b₁, b₂ и b₃

.

По экспериментально найденным температурам t₁ и t₂ в произвольной точке тела определяют коэффициент его температуропроводности а, затем, рассчитав по уравнению (7.203) величину m, находят коэффициент теплоотдачи и скорость нагревания или охлаждения тела.

При решении ряда практических задач по нагреванию и охлаждению тел аналитический расчет можно также упростить, приняв, что перенос тепла осуществляется во времени и в пространстве не непрерывно, а скачкообразно (метод конечных разностей).

В инженерной практике наиболее часто пользуются графоаналитическим методом расчета, основанном на замене переменных, влияющих на изменение температуры тела в пространстве и во времени, безразмерными комплексами и симплексами подобия:

критерий Био ;

критерий Фурье

;

симплекс геометрического подобия

.

Безразмерная температура в любой точке тела (t₀ – температура, принятая за масштаб температур) может быть выражена обобщенной зависимостью

. (7.205)

Эта функция постоянна для всех подобных процессов нестационарной теплопроводности.

Выражения, полученные в результате интегрирования уравнений теплопроводности для тел простой геометрической формы (плоская стенка, цилиндр, шар), представляют в виде графической зависимости безразмерных температур на поверхности тела и в средней его плоскости от критериев Bi и Fо. Безразмерные температуры в этом случае:

и ,

где t_ж – температура среды, принимаемая постоянной; t_пов и t_ср – температура, достигаемая за время τ соответственно на поверхности и в среднем сечении тела; t_н – начальная температура тела.

В качестве примера на рис. 7.25 приведены зависимости и для плоской пограничной стенки.

Расчет по таким графикам производится следующим образом. По известным значениям λ, с_р, ρ находят величину коэффициента температуропроводности и рассчитывают критерий Фурье. Затем рассчитывают значение критерия Био, принимая за определяющий размер толщину стенки δ. При этом величина коэффициента теплоотдачи α должна быть задана или рассчитана (при расчете α задаются температурой поверхности тела, которую потом проверяют, т.е. α находят методом последовательных приближений).

а

б

Рисунок 7.25 – Зависимости θ_пов и θ_ср от Вi и Fо для плоской неограниченной стенки: а – ; б –

По пересечению перпендикуляра, проведенного из точки на оси абсцисс (рис. 7.25), соответствующей величине Вi и кривой, отвечающей значению Fо, определяют температуры θ_пов и θ_ср. По этим температурам находят температуры на поверхности t_пов и в среднем сечении стенки t_ср.

Результаты интегрирования уравнения теплопроводности можно представить также в виде зависимости

, (7.206)

где Q_τ – количество тепла, переданное за время τ; Q – полное количество тепла, переданное телу до наступления равновесия (до полного нагревания или охлаждения).

Расчет производят по соотношениям:

. (7.207)

В уравнении (7.207) V – объем тела; t – средняя по объему тела температура, достигнутая за время нагрева (эта температура задается или принимается).

На рис. 7.26 представлена зависимость от критериев Био и Фурье для плоской неограниченной стенки.

Рисунок 7.26 – Зависимость от Bi и Fо для плоской неограниченной стенки

Для определения времени нагрева стенки до температуры t необходимо из точки на оси абсцисс (рис. 7.26), соответствующей данному значению Bi, восстановить перпендикуляр до пересечения с ординатой, отвечающей значению отношения . Точка пересечения определит величину , по которой определяется искомое время нагрева τ.

Нестационарный процесс конвективного теплообмена. Для нестационарных процессов конвективного теплообмена характерно изменение температур теплоносителей (или одного из них) во времени. Наиболее общим случаем является теплообмен между двумя жидкостями (газами) через стенку, когда изменяются во времени температуры обоих теплоносителей. Например, нагревание или охлаждение жидкости в аппарате (рис. 7.27) с помощью змеевика, через который пропускают другую жидкость (с более высокой или более низкой температурой). Для интенсификации теплообмена жидкость в аппарате обычно перемешивается мешалкой, в результате чего температура ее во всем объеме в данный момент времени одинакова.

Рисунок 7.27 – К расчету нестационарного теплообмена между двумя жидкостями

Если расход жидкости, протекающей через змеевик G₁, ее удельная теплоемкость с₁, начальная температура (на входе в змеевик) постоянна t_1н = соnst, а конечная (на выходе) t_1к изменяется во времени, при этом t_1к < t_1н, то количество тепла, отданное этой жидкостью за время dτ

. (7.208)

Это же тепло перейдет через стенку змеевика к другой жидкости:

, т.е. , (7.209)

где Δt_ср – средняя разность температур жидкостей, переменная во времени.

Температура жидкости в аппарате при теплообмене изменяется от t_2н до t_2к (t_2к > t_2н), ее значение в любой произвольный момент времени t₂. Тогда разность температур жидкостей у входа горячего теплоносителя в змеевик t_1н – t₂, а у выхода t_1к – t₂.

Следовательно, Δt_ср в данный момент

. (7.210)

Подставив полученное значение Δt_ср в уравнение (7.209), получим

,

откуда . (7.211)

Если принять средние значения коэффициента теплопередачи К и удельной теплоемкости с постоянными, то .

Из уравнения (7.211) можно найти переменную конечную температуру жидкости в змеевике:

. (7.212)

При подстановке t_1к из уравнения (7.212) в уравнение (7.208) количество переданного тепла dQ выразится равенством

. (7.213)

Это же количество тепла, перешедшее в жидкость в аппарате, можно записать в виде

, (7.214)

где G₂ и с₂ – количество и удельная теплоемкость жидкости в аппарате, соответственно.

Приравнивая правые части последних уравнений, получим

. (7.215)

Разделив переменные и проинтегрировав уравнение(7.215)

,

найдем время нагревания жидкости в аппарате

(7.216)

либо

.

Последнее выражение может быть использовано также для определения температуры, до которой нагревается жидкость в аппарате t_2к за время τ_нагр.

Начальную и конечную температуры жидкости в змеевике можно рассчитать, пользуясь уравнением (7.212).

Так, при t₂ = t_2н и разности температур жидкостей t_1н – t_2н

. (7.217)

При t₂ = t_2к и разности температур t_1к – t_2к

. (7.218)

Средняя температура жидкости на выходе из змеевика определяется из теплового баланса

,

откуда . (7.219)

Приведенный расчет справедлив также и для случая охлаждения жидкости в аппарате. При охлаждении начальная, конечная и средняя температуры охлаждающей жидкости рассчитываются по уравнениям (7.217) – (7.219), соответственно, в которых знак сложения или вычитания изменяется на противоположный.

Рисунок 7.28 – К расчету нестационарного теплообмена между конденсирующимся паром и перемешиваемой жидкостью

Если температура одного из теплоносителей остается постоянной во времени, расчет процесса нестационарного теплообмена значительно упрощается. Примером может служить нагревание жидкости в аппарате (рис. 7.28) за счет тепла конденсации насыщенного пара (без переохлаждения конденсата) в змеевике.

Начальная температура жидкости в аппарате t_жн, конечная – t_жк. Температура греющего пара – t_п. За промежуток времени dτ количество тепла, переданное паром жидкости через поверхность нагрева F, составит

,

где K – коэффициент теплопередачи; t_ж – температура жидкости в данный момент времени.

Это тепло расходуется на подогрев жидкости

(G_ж, с_ж – количество и удельная теплоемкость жидкости соответственно).

Следовательно,

.

В результате разделения переменных и интегрирования последнего выражения, получим

; , (7.220)

откуда время нагревания жидкости в аппарате от t_жн до t_жк

. (7.221)

Уравнение (7.220) может быть использовано также для определения температуры нагреваемой жидкости t_ж в любой момент времени τ:

. (7.222)

Расход греющего пара определяется по тепловому балансу

, (7.223)

где G_п – расход пара; r – удельная теплота парообразования.