
- •Бесконечно большая функция
- •Бесконечно малые функции
- •Теоремы о пределах
- •Признаки существования предела
- •Непрерывность функции в точке
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Определение производной; ее механический и геометрический смысл.
- •Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •Замечания:
- •Производная суммы, разности, произведения и частного функций
- •Производные основных элементарных функций
- •Производная сложной и обратной функций
- •Понятие дифференциала функции
- •Геометрический смысл дифференциала функции
- •Основные теоремы о дифференциалах
- •Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
- •Правила Лопиталя
- •Раскрытие неопределенностей различных видов
- •Возрастание и убывание функций
- •Максимум и минимум функций
- •Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Понятие неопределенного интеграла
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Метод непосредственного интегрирования
- •30.2. Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)
- •30.3. Метод интегрирования по частям
- •31.2. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •31. 3. Интегрирование рациональных дробей
- •Универсальная тригонометрическая подстановка
- •Квадратичные иррациональности
- •33.2. Дробно-линейная подстановка
- •33.3. Тригонометрическая подстановка
- •33.4. Интегралы типа
- •33.5. Интегрирование дифференциального бинома
- •§ 35. Определенный интеграл как предел интегральной суммы
- •Геометрический и физический смысл определенного интеграла
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •§ 38. Основные свойства определенного интеграла
- •39.1. Формула Ньютона-Лейбница
- •39.2. Интегрирование подстановкой (заменой переменной)
- •39.3. Интегрирование по частям
- •39.4. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах
- •§ 40. Несобственные интегралы
- •40.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)
- •40.2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)
- •§ 41. Геометрические и физические приложения определенного интеграла Додати до моєї бази знань Математика
- •41.1. Схемы применения определенного интеграла
- •41.2. Вычисление площадей плоских фигур
- •41.3. Вычисление длины дуги плоской кривой
- •41.4. Вычисление объема тела
- •41.5. Вычисление площади поверхности вращения
- •41.6. Механические приложения определенного интеграла
Квадратичные иррациональности
Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции.
Интегралы типа
называют неопределенными интегралами
от квадратичных иррациональностей. Их
можно найти следующим обpaзoм:
под радикалом выделить полный квадрат
и сделать подстановку х +b/2a=t. При этом первые два интеграла приводятся к табличным, а третий - к сумме двух табличных интегралов.
Пример 33.1. Найти интегралы
Решение: Так как,
То
Cдeлаем подстановку x+1/4=t, x=t-1/4,dx=dt. Тогда
Пример 33.2. Найти интеграл
Решение: Так как 6-2х-х^2=-(х^2+2х-6)=-((х+1)^2-7)=7-(х+1)^2, то подстановка имеет вид х+1=t, х=t-1, dx=dt. Тогда
Интегралы типа
,
где Рn(х) - многочлен степени
n, можно вычислять, пользуясь
формулой
где Qn-1(x) - многочлен степени n-1 с неопpедeлeнными коэффициентами, l - также неопределенный коэффициент.
Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества, получаемого дифференцированием обеих частей равенства (33.1):
после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной х.
Пример 33.3. Найти интеграл
Решение: По формуле (33.1) имеем:
Дифференцируя это равенство, получаем:
Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:
Отсюда А=-1/2,B=3/2,l=2. Следовательно,
33.2. Дробно-линейная подстановка
Интегралы типа
где а, b, с, d
- действительные числа, a,b,...,d,g
- натуральные числа, сводятся к интегралам
от рациональной функции путем подстановки
где К - наименьшее общee
кратное знаменателей дробей
Действительно, из подстановки
следует, что
и
т. е. х и dx выражаются через
рациональные функции от t.
При этом и каждая степень дроби
выражается через рациональную функцию
от t.
Пример 33.4. Найти интеграл
Решение: Наименьшее общee кратное знаменателей дробей 2/3 и 1/2 есть 6.
Поэтому полагаем х+2=t^6,
х=t^6-2, dx=6t^5
dt,
Следовательно,
Пример 33.5. Указать подстановку для нахождения интегралов:
Решение: Для I1 подстановка
х=t2, для I2
подстановка
33.3. Тригонометрическая подстановка
Интегралы типа
приводятся
к интегралам от функций, рационально
зависящих от тригонометрических функций,
с помощью следующих
тригонометрических подстановок: х=а•sint
для первого интеграла; х=а•tgt
для второго интеграла;
для третьего интеграла.
Пример 33.6. Найти интеграл
Решение: Положим х=2 sin t, dx=2 cos tdt, t=arcsin х/2. Тогда
33.4. Интегралы типа
Здесь подынтегральная функция есть
рациональная функция относительно х
иВыделив
под радикалом полный квадрат и сделав
подстановку
,
интегралы указанного типа приводятся
к интегралам уже pасcмoтpeннoгo
типа, т. е. к интегралам типа
Эти
интегралы можно вычислить с помощью
соответствующих тригонометрических
подстановок.
Пример 33.7. Найти интеграл
Решение: Так как х^2+2х-4=(х+1)^2-5, то х+1=t,
x=t-1, dx=dt.
ПоэтомуПоложим
Тогда
Замечание: Интеграл типа
целесooбразно находить с
помощью подстановки х=1/t.