Асимптоты графика функции

Построение графика функции значительно облегчается, если знать его асимптоты. Понятие асимптоты рассматривалось при изучении формы гиперболы.

Напомним, что асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рис. 156).

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.

Говорят, что прямая х=а является вертикальной асимптотой графика функции

, или

Действительно, в этом случае непосредственно из рисунка 156 видно, что расстояние точки М(х;у) кривой от прямой х=а равно d=׀ х-а׀ . Если х→а, то d→0. Согласно определению асимптоты, прямая х=а является асимптотой кривой у=ƒ(х). Для отыскания вертикальных асимптот нужно найти те значения х, вблизи которых функция ƒ (х) неограниченно возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода.

Например, кривая имеет вертикальную асимптоту (см. рис. 157) х =-1, так как

Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде

y=kx+b. (25.5)

Найдем k и b.

Пусть М(х;у) — произвольная точка кривой у=ƒ(х) (см. рис. 158). По формуле расстояния от точки до прямой

находим расстояние от точки М до прямой (25.5):

Условие d→0 будет выполняться лишь тогда, когда числитель дроби стремится к нулю, т.е.

Отсюда следует, что kx-у+b=α, где α=α(х) бесконечно малая: α→0 при х→ ∞ . Разделив обе части равенства у=b+kx-α на х и перейдя к пределу при х→ ∞ , получаем:

Так как b/х→0 и α/х→0, то

Из условия (6) находим b:

Итак, если существует наклонная асимптота у=kx+b, то k и b находятся по формулам (25.7) и (25.8).

Верно и обратное утверждение: если существуют конечные пределы (25.7) и (25.8), то прямая (25.5) является наклонной асимптотой.

Если хотя бы один из пределов (25.7) или (25.8) не существует или равен бесконечности, то кривая у=ƒ(х) наклонной асимптоты не имеет.

В частности, если k=0, то b=limƒ(х) при х →∞ . Поэтому у=b — уравнение горизонтальной асимптоты.

Замечание: Асимптоты графика функции у=ƒ(х) при х→+ ∞ и х→- ∞ могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов (25.7) и (25.8) следует отдельно рассматривать случай, когда х→+∞ и когда х→- ∞ .

Понятие неопределенного интеграла

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции ƒ(х) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F(x), зная ее производную F'(x)=ƒ(х) (или дифференциал). Искомую функцию F(x) называют первообразной функции ƒ(х)

Функция F(x) называется первообразной функции ƒ(х) на интервале (а; b), если для любого х є (а;b) выполняется равенство

F'(x)=ƒ(x) (или dF(x)=ƒ(x)dx).

Например, первообразной функции у=х^2, х є R, является функция , так как

Очевидно, что первообразными Будут также любые функции

где С - постоянная, поскольку

Tеоpeмa 29. 1. Если функция F(x) является первообразной функции ƒ(х) на (а;b), то множество всех первообразных для ƒ(х) задается формулой F(x)+С, где С - постоянное число.

▲Функция F(x)+С является первообразной ƒ(х).

Действительно, (F(x)+C)'=F'(x)=ƒ(x).

Пусть Ф(х) - некоторая другая, отличная от F(x), первообразная функции ƒ(х) , т. е. Ф'(x)=ƒ(х). Тогда для любого х є (а;b) имеем

А это означает (см. следствие 25. 1), что

Ф(x)-F(x)=C,

где С - постоянное число. Следовательно, Ф(х)=F(x)+С. ▼

Множество всех пepвoобpaзныx функций F(x)+С для ƒ(х) называется неопределенным интегралом от функции ƒ(х) и обозначается символом ∫ ƒ(х) dx.

Таким образом, по определению

∫ƒ(x)dx= F(x)+C.

Здесь ƒ(х) называется подинтегральнoй функцией, ƒ(x)dx — подинтегральным выражением, х - переменной интегрирования, ∫ - знаком неопределенного интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых у=F(x)+C (каждому числовому значению С соответствует определенная кривая семейства) (см. рис. 166). График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.

Для всякой ли функции существует неопределенный интеграл?

Имеет место теорема, утверждающая, что «всякая непрерывная на (а;b) функция имеет на этом промежутке

первообразную», а следoвaтельно, и неопределенный интеграл.