Потенциальное поле сил. Силы консервативные и неконсервативные

Если тело поставлено в такие условия, что в каждой точке пространства оно подвержено воздействию других тел с силой, закономерно изменяющейся от точки к

точке, говорят, что это тело находится в поле сил. Так, например, тело вблизи поверхности Земли находится в поле сил тяжести — в каждой точке пространства на него действует сила Р = mg, направленная по вертикали вниз. В качестве второго примера, рассмотрим тело М, «привязанное» пружиной к некоторому центру О (рис. 56). прикреплен к телу М.

В каждой точке пространства на тело М действует сила, направленная по радиусу (т. е. вдоль прямой, проходящей через центр О и тело М) и равная

где r — расстояние тела от центра О, r₀ — длина недеформированной пружины, k — коэффициент пропорциональности. Если r > r₀ (пружина растянута), сила направлена к центру и имеет знак «—» (направления силы и радиуса-вектора r противоположны); если r < r₀ (пружина сжата), сила направлена от центра и имеет знак « + ». Рассмотренное поле сил представляет собой частный случай так называемого поля центральных сил, характерного тем, что направление силы, действующей в любой точке пространства, проходит через некоторый центр, а величина силы зависит только от расстояния до этого центра f = f(r).

Поле сил тяжести тоже является частным случаем центрального поля сил.

Приведенные примеры характерны тем, что силы, действующие на тело, зависят только от положения тела в пространстве (точнее, от положения тела по отношению к другим действующим на него телам) и не зависит от скорости тела.

7. 7-я лекция. Полная механическая энергия системы частиц

Приращение кинетической энергии, полной механической энергии системы взаимодействующих частиц, находящихся во внешнем поле. Закон сохранения энергии.

Импульс системы частиц. Закон сохранения импульса. Центр масс. Система центра масс. Лабораторная система отсчета.

Импульс

Уравнению второго закона Ньютона

можно придать другой вид. Учтя, что масса m в классической механике есть величина постоянная, ее можно внести под знак производной и записать (22.1) следующим образом:

Векторную величину

называют импульсом материальной точки¹). Воспользовавшись определением импульса, уравнение второго закона можно написать в виде

а сам закон сформулировать так: производная импульса материальной точки по времени равна результирующей всех сил, действующих на точку.

Уравнение (22.3) справедливо в более широких пределах, чем уравнение (22.1). Как устанавливает теория относительности, масса тела является функцией скорости: с увеличением скорости масса растет. Правда, зависимость массы от скорости такова²), что при скоростях значительно меньших скорости света, масса остается практически постоянной. Однако при больших скоростях масса начинает быстро расти, вследствие чего уравнение (22.1) становится неприменимым. В то же время уравнение (22.3) остается справедливым и при этих условиях. Таким образом, уравнение (22.3) сохраняет свое значение и в релятивистской механике (см. § 12).

Умножив (22.3) на dt, придем к соотношению:

интегрирование которого дает приращение импульса за промежуток времени, протекший от момента t₁ до момента t₂:

Отметим, что ранее вместо термина «импульс» пользовались термином «количество движения».

В специальной теории относительности в процессе выкладок сама собой в ряде случаев, например, при рассмотрении движения заряженной частицы в магнитном поле появляется аналитическая структура вида

Устаревшая интерпретация этого соотношения состоит в следующем: здесь m — масса тела в системе отсчета, относительно которой это тело движется со скоростью V, m₀ — масса покоя, т. е. масса при V = 0, с — скорость света в вакууме. В действительности, здесь , то есть отношение энергии тела , движущегося со скоростью V к квадрату скорости света в вакууме и ничего больше. Масса тела есть релятивистский инвариант и от скорости движения тела не зависит.

Возвращаясь к формуле (22.5) в частном случае f = const, для приращения им­пуль­­­са за промежуток времени τ получаем: р₂ — p₁ = f·.

Заметим, что из выражения (22.3) следует, что, выяснив, как импульс изменяется со временем, можно установить силу, действующую на тело.