Обобщенные функции

Обобщенной функцией, заданной на прямой , называется всякий непрерывный функционал T() на основном пространстве K. При этом непрерывность функционала понимается в том смысле, что , если последовательность _n сходится к  в основном пространстве K.

Всякая интегрируемая на любом конечном интервале функция f порождает некоторую обобщенную функцию. Выражение

(1.18)

есть непрерывный линейный функционал на K. Такие обобщенные функции называются регулярными, а все прочие, не представимые в виде ( 1 .18), – сингулярными. В качестве примера служит -функция, определяемая в виде

,

и ставящая в соответствие функции  ее значение в точке x = 0. Это непрерывный линейный функционал на K, то есть обобщенная функция. Этот функционал обычно записывается в виде

,

причем под (x) понимается функция, равная нулю при всех и обращающаяся в точке x = 0 в бесконечность, так что

.

Очевидно, если , то

.

Важно подчеркнуть, что -функция Дирака² есть обобщенная функция, определенная на K.

Еще один пример – смещенная -функция. Пусть

.

Как и в предыдущем случае, этот функционал можно представить в виде

.

Дифференцирование обобщенных функций

Пусть T – функционал на K, определяемый непрерывной функцией f,

.

Его производной dT/dx называется функционал, определяемый выражением

.

Интегрирование по частям с учетом того, что каждая основная функция  обращается в нуль вне некоторого конечного интервала, дает выражение

.

Таким образом, получено выражение для производной функционала dT/dx, в котором производная функции f не используется. Отсюда следует, что производной dT/dx обобщенной функции T является функционал, определяемый выражением

.

Поскольку  имеет непрерывные производные любых порядков, то функционал, определяемый этим соотношением, линеен и непрерывен. То есть является обобщенной функцией. Аналогично определяются вторая, третья и прочие производные. Из определения следует, что всякая обобщенная функция имеет производные всех порядков.

Пример 1.1. Пусть f – регулярная (обычная) функция, производная которой существует и непрерывна. Тогда производная от нее как от обобщенной функции совпадает с ее производной в обычном смысле. Действительно,

.

Пример 1.2. Пусть

.

Эта функция Хевисайда определяет линейный функционал

.

В соответствии с введенным определением производной обобщенной функции

,

поскольку  обращается в нуль на бесконечности. Таким образом, производная функции Хевисайда¹ есть -функция.

Пример 1.3. Из примеров 1.1 и 1.2 ясно, что если f – функция, имеющая в точках x₁, x₂, … скачки, равные h₁, h₂, …, и дифференцируема в обычном смысле в остальных точках, то производная от нее как от обобщенной функции представляет собой сумму обычной производной (в тех точках, где она существует) и выражения вида .

Пример 1.4. Определим производную как обобщенную функцию.

.

Таким образом, производная как обобщенной функции равна , где h(x) – функция Хевисайда.

Сходимость метода взвешенных невязок Основные понятия и определения

Основные понятия и определения вводятся в соответствии с [18].

Последовательность называется фундаментальной, если такой, что и любых натуральных p выполняется неравенство .

Нормированное пространство X вложено в нормированное пространство , если всюду на X задана линейная функция J(x), причем существует постоянная  > 0 такая, что .

Прямой суммой двух линейных пространств Z = X + Y и называется совокупность пар z = (x, y), для которых операции сложения пар и умножения пары на число определяются следующим образом: если z₁ = (x₁, y₁), а z₂ = (x₂, y₂) и ₁, ₂ – скаляры, то .

Линейное многообразие L, лежащее в нормированном пространстве E , называется плотным в E, если найдется элемент такой, что .

Нормированное пространство называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится. Полное нормированное пространство называется банаховым.

Пусть X – банахово пространство, а R – вещественная ось, – банахово пространство линейных ограниченных функционалов, заданных на X. Это пространство называется сопряженным к X и обозначается . Значение линейного функционала на обозначается .

Пусть . Последовательность называется слабо сходящейся к элементу , если . Если слабо, то x называется слабым пределом . В отличие от слабо сходящихся, последовательности, сходящиеся по норме пространства X называются сильно сходящимися.

Множество M банахова пространства X называется слабо компактным, если из любой (бесконечной) последовательности его элементов можно выбрать слабо фундаментальную (в смысле слабой сходимости) последовательность.

Нормированное пространство X называется сепарабельным, если в нем существует счетное, плотное в X множество.

Пространство H со скалярным произведением называется гильбертовым, если оно полно в смысле сходимости по норме, порожденной скалярным произведением.

Пусть в гильбертовом пространстве H задано подпространство M. Согласно теореме Рисса¹ каждому можно поставить в соответствие единственный элемент – ортогональную проекцию x на M. Тем самым в H определен оператор ортогонального проектирования (для краткости – проектор) .

Пространство состоит из всевозможных функций u(x), непрерывно дифференцируемых на [a, b], со скалярным произведением

и нормой, соответствующей этому скалярному произведению,

.

является пополнением в этой норме. Элементами являются классы, состоящие из последовательностей , фундаментальных в в среднем, то есть таких, что

.

Из условия фундаментальности в среднем в следует, что по отдельности

, .

Согласно определению [18] пространства существуют функции и такие, что

в среднем. Пусть , тогда в определены элемент u(x) с представителем и элемент w(x) с представителем . Элемент w(x) называется обобщенной производной (в смысле Соболева) от u(x).

Пространство является пополнением в метрике линейного пространства непрерывно дифференцируемых функций, принимающих на границе значения, равные нулю. является гильбертовым пространством со скалярным произведением .