-
ЗадачИ механики деформируемого твердого тела Постановка задачи
Пусть равновесное состояние тела (в рамках гипотезы о малых деформациях) описывается системой уравнений равновесия
, (4.0)
физических
, (4.1)
геометрических
(4.2)
c силовыми
(4.3)
и кинематическими граничными условиями
. (4.4)
Здесь обозначено:
– оператор Гамильтона1;
– тензоры напряжений и малых деформаций;
– вектор перемещений;
– вектор внешней нормали к поверхности;
– векторы массовых и поверхностных
сил;
– тензоры физико-механических свойств;
T – температурное поле;
– плотность материала. Вся поверхность
Г тела разделена на ГF
, где заданы поверхностные нагрузки, и
ГU, на которой заданы
кинематические граничные условия,
.
Разрешающие соотношения метода взвешенных невязок Уравнение равновесия
Поскольку уравнение ( 4 .0) векторное,
решением его является векторная функция,
а значит, для разложения его в ряд
необходимо построить систему векторных
пробных функций. Предположим, что
– полная и замкнутая система скалярных
функций. Используя эту систему, построим
набор векторных пробных функций
(4.5)
Пусть
– приближенное решение уравнения ( 4 .0).
Взвесим невязки, получаемые при
подстановке этого решения в уравнение
( 4 .0) и граничное условие ( 4 .3), в соответствии
с идеей метода Галеркина, используя
систему векторных функций ( 4 .5),
, (4.6)
. (4.7)
С помощью соотношений тензорного анализа [9]
,
и соотношения ( 4 .7) первое слагаемое выражения ( 4 .6) преобразуется к виду
.
В результате выполненных преобразований получена ослабленная форма уравнения ( 4 .0)
, (4.8)
поскольку искомая функция
теперь вынесена из-под знака производной.
Кроме этого, в выражение ( 4 .8) включены
силовые граничные условия ( 4 .3). Перейдем
от векторной формы записи к компонентной:
, (4.9)
где компоненты метрического тензора [11]
В физических компонентах (обозначены чертой сверху) соотношение ( 4 .9) принимает вид
. (4.10)
В последнем выражении Hj, j = 1, 2, 3 – коэффициенты Ляме. В декартовой ортогональной системе координат H1 = H2 = H3 = 1. В этом случае выражение ( 4 .10) преобразуется к виду (далее знак черты над символами опущен)
.
Для вектора
это соотношение записывается в форме
.
Учитывая, что согласно ( 4 .5)
,
предыдущее выражение приводится к виду
.
Аналогичные преобразования с использованием
приводят к соотношениям
,
.
Для всей системы функций ( 4 .5) полученные выражения можно записать в виде
(4.11)
где
.
Вводятся матричные обозначения
,
,
, (4.12)
с помощью которых систему уравнений ( 4 .11) можно записать в матричной форме
. (4.13)
Физические уравнения
Для упруго деформируемого тела связь между напряжениями и деформациями имеет вид закона Гука1
, (4.14)
где
– объемная деформация;
и G – коэффициенты Ляме, которые
могут быть определены с помощью
коэффициента Пуассона
и модуля Юнга2
E,
.
Для рассматриваемого случая выражения ( 4 .14) принимают вид
,
,
,
,
,
.
Полученные выражения могут быть записаны в матричной форме,
,
где
.
Для учета возможных температурных деформаций за счет теплового расширения следует иметь в виду, что полная деформация определяется суммой
,
– коэффициент температурного расширения материала, T – температура, отсчитываемая от некоторого начального значения, объемная деформация определяется выражением
.
В этом случае связь ( 4 .14) между упругими напряжениями и деформациями представляется в виде:
.
Вводя обозначение
,
соотношения ( 4 .1) можно записать в матричном виде,
. (4.15)