Коливальний контур із зосередженими параметрами

Коливальний контур такого типу являє собою електричне коло, в якому параметри L і C зосереджені в окремих його дільницях. Це коло складається із котушки із коефіцієнтом самоіндукції L і конденсатора ємністю C. Крім того, будь-яка котушка створює активний опір R_L і конденсатор відповідно R_C. Тоді - сумарний активний опір: мал. 1.

1. Власні коливання в контурі

Нехай ми маємо схему на мал. 2. Після переведення перемикача SA1 із положення 1 в 2, в контурі виникне розрядний струм I. З’ясуємо залежність величини цього струму від часу. Для цього використаємо другий закон Кірхгофа для миттєвих значень величин: (1), де - заряд конденсатора в даний момент часу. Продиференціюємо останню рівність за часом () (2)

(3)

Нехай , , тоді (4)

, (5)

Розглянемо можливі випадки:

1. – корені характеристичного рівняння дійсні і загальний розв’язок є аперіодичною функцією часу. Контур, для якого виконується ця умова називається аперіодичним. В радіотехніці такі контури не використовуються. /при маємо також аперіодичні коливання/;

2. – такі контури широко використовуються і тому інтегрування рівності 4 виконаємо при такій умові: (6)

Загальний розв’язок має вигляд: (7)

де А, В – сталі інтегрування, які визначаються з початкових вимог. Значить, струм має характер затухаючого коливання. Це і є власні коливання контура.

Циклічна частота ;

(8)

- називається хвильовим або характеристичним опором контура.

– визначає добротність контура.

Добротність Q характеризує відносну зміну енергії в процесі коливань:

(9)

Значить (10)

На цій підставі (11)

або (12)

У випадку Q>10 , другий множник практично дорівнює одиниці, тому частота власних коливань може виражатися: (13)

тобто справедлива відома формула Томпсона.

2. Характер затухаючих коливань

В деякий момент часу t амплітуда коливань , в слідуючий момент t+T/2 (T- період власних коливань) амплітуда струму . Відношення цих амплітуд визначає декремент затухання: (14)

Натуральний логарифм цього відношення визначає логарифмічний декремент затухання: (15) , або (16), де ; оскільки , то (17)

Тобто, амплітуда змінюється /зменшується/ за експоненціальним законом, причому чим менше Q, тим швидше.

3. Послідовний резонанс

Розглянемо коливальний контур, в який ввімкнено джерело синусоїдальної е.р.с. Нехай

(1)

при цьому внутрішній опір джерела рівний нулю. Частота е.р.с. може плавно змінюватися, але її амплітуда при цьому залишається сталою.

При будь-якій частоті ω

(2)

Частоту джерела можна підібрати таким чином, що реактивний опір контура дорівнює нулеві, тобто справджується рівність .

Це буде мати місце при

(3)

Крім того, струм І досягає максимального значення при резонансі

|,

Явище, при якому реактивний опір контура рівний нулеві, причому контурний струм стає максимальним, наз. послідовним резонансом або резонансом напруг.

Частоту, при якій виникає резонанс, а також струми та напруги в контурі, які при цьому виникають, наз. резонансними. Їх будемо позначати індексом .

Значить,