
- •Содержание
- •Введение
- •Глава 1. Измерение физических величин. Погрешности измерений
- •§1. Классификация погрешностей измерений
- •§2. Закон нормального распределения случайных величин
- •Глава 2. Методы определения погрешностей измерений
- •§1. Оценка погрешностей методом статистического учета
- •1.1. Расчет абсолютной и относительной погрешностей прямых измерений
- •1.2. Оценка погрешностей косвенных измерений
- •1.3. Правила обработки результатов измерений
- •Для прямых измерений
- •Для косвенных измерений
- •§2. Графический метод определения погрешностей
- •2.1. Графики
- •2.2. Методы расчета физических величин из данных, представленных в виде графика
- •2.3. Определение параметров линейной зависимости из графика
- •2.4 Метод парных точек
- •2.5 Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы
- •Использованная литература
- •Рекомендуемая литература
- •Правила округления чисел
- •Основные свойства логарифмов
- •Понятие частной производной и примеры вычисления частных производных функции нескольких переменных
- •Определение относительной погрешности косвенных измерений
- •Погрешности элементарных функций
Определение относительной погрешности косвенных измерений
Мы
уже отмечали, что часто бывает удобно
сначала определить относительную
погрешность косвенного измерения
,
а затем абсолютную. Покажем это на
примерах.
Пример. Пусть x, y и z – прямо измеренные величины, а f – косвенно определяемая через них величина. Вывести формулы для определения относительной погрешности косвенных измерений:
а)
f=(xy)z; б)
f=sin(x2+y2); в)
.
Значения
,
,
и
считать
известными.
Решение:
Напомним,
что
рассчитывается по формуле:
.
а) Сначала прологарифмируем функцию f=(xy)z :
.
Теперь
найдем частные производные
,
и
:
;
;
.
Тогда:
,
.
Теперь,
зная
и
,
рассчитаем
:
.
б) Прологарифмировав данную функцию f=sin(x2+y2), получим:
.
Мы видим, что выражение лишь усложнилось,
искать производную от исходной функции
проще, чем от ее логарифма. Поэтому
запишем частные производные функции:
;
.
Подставим
эти данные в формулу для определения
абсолютной погрешности косвенного
измерения. Напомним, что
рассчитывается
так:
.Получим:
.
Теперь,
зная
и
,
можно рассчитать
:
.
в) В этом примере исходную функцию удобно прологарифмировать:
.
Теперь будет проще искать частные производные. Итак:
,
,
.
Подставим
полученные значения в формулу для
определения
.
Получим:
,
.
Теперь,
зная
и
,
рассчитаем
:
.
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
Погрешности элементарных функций
Таблица 4
№ |
Вид функции z = z(a) |
Абсолютная погрешность z |
Относительная погрешность
|
1 |
ca, c = const |
ca |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
6 |
|
|
|
7 |
|
|
|
8 |
|
|
|
9 |
|
|
|
10 |
|
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
Наиболее часто встречаются следующие случаи определения погрешностей:
1. Погрешности в суммах и разностях. Если а1 и а2 измерены с погрешностями Δа1 и Δа2 и измеренные значения используются для вычисления суммы или разности А = а1 ± а2, то суммируются абсолютные погрешности (без учета знака):
ΔА = Δа1 + Δа2.
2. Погрешности в произведениях и частных. Если измеренные значения а1 и а2 используются для вычисления А = а1 а2 или А = а1 / а2, то суммируются относительные погрешности:
εА = εа1 + εа2, где ε = Δа / а.
3. Измеренная величина умножается на точное число. Если а используется для вычисления произведения А = В а, в котором В не имеет погрешности, то А = | В | εа.
4. Возведение в степень. Если а используется для вычисления степени А = аn, то А = n εа.
5. Погрешности в произвольной функции одной переменной. Если а используется для вычисления функции А(а), то:
.
Пример 1. Производится косвенное измерение электрической мощности, рассеиваемой на резисторе сопротивлением R при протекании по нему тока I. Так как P = I2 R, то, применяя правила 2 и 4, получим εP = εR + 2εI.
Пример 2. Измерением найдено значение угла α = (20±3). Необходимо найти cosα. Наилучшая оценка для cos20 = 0,94. Погрешности Δα = 3 = 0,05 рад. Тогда по правилу 5 имеем εcosα = (sin20) 0,05 = 0,34 0,05 = 0,02. Окончательно cosα = 0,94 ± 0,02.
ПРИЛОЖЕНИЕ 6
В приведенной таблице представлены экспериментальные данные, с помощью которых можно определить сопротивление некоторого образца:
Таблица 5
-
I, мА
U, В
I2,( мА)2
U2, В2
IU, мАВ
12,1
2,7
146,41
7,29
32,67
15,9
3,3
252,81
10,98
52,47
21,8
3,2
475,24
10,24
69,76
25,0
3,2
625,00
10,24
80,00
29,8
3,5
888,04
12,25
104,30
33,5
4,3
1122,25
18,49
144,05
38,3
4,0
1466,89
16,00
153,20
41,0
4,6
1681,00
21,16
188,60
46,6
5,1
2171,56
26,01
237,66
54,8
5,1
3003,04
26,01
279,48
1.
В качестве переменной x
выступает сила тока I,
переменной y
является напряжение U.
По формулам
и
вычисляют средние значения переменных:
,
.
2.
По формулам
и
вычисляют средние квадраты:
,
3.
Рассчитывают <xy>
как
:
4. Определить оптимальные значения коэффициентов а и b по формулам:
,
,
.
5. Определяют квадрат среднего квадратичного отклонения σ2:
4.Определить квадраты средних квадратичных отклонений σа2 и σb2:
,
.
,
5.
Вычислить погрешности
и
:
,
.
ПРИЛОЖЕНИЕ 7
Значения tα,n для различных значений доверительной вероятности
α и числа измерений n (распределение Стьюдента)
Таблица 6
α n |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,95 |
0,98 |
0,99 |
0,999
|
2 |
1,000 |
1,376 |
1,963 |
3,08 |
6,31 |
12,71 |
31,8 |
63,7 |
636,6 |
3 |
0,816 |
1,061 |
1,336 |
1,886 |
2,92 |
4,30 |
6,96 |
9,92 |
31,6 |
4 |
0,765 |
0,978 |
1,250 |
1,638 |
2,35 |
3,18 |
4,54 |
5,84 |
12,94 |
5 |
0,741 |
0,941 |
1,190 |
1,533 |
2,13 |
2,77 |
3,75 |
4,60 |
8,61 |
6 |
0,727 |
0,920 |
1,156 |
1,476 |
2,02 |
2,57 |
3,36 |
4,03 |
6,86 |
7 |
0,718 |
0,906 |
1,134 |
1,440 |
1,943 |
2,45 |
3,14 |
4,71 |
5,96 |
8 |
0,711 |
0,896 |
1,119 |
1,415 |
1,895 |
2,36 |
3,00 |
3,50 |
5,40 |
9 |
0,706 |
0,889 |
1,108 |
1,397 |
1,860 |
2,31 |
2,90 |
3,36 |
5,04 |
10 |
0,703 |
0,883 |
1,110 |
1,383 |
1,833 |
2,26 |
2,82 |
3,25 |
4,78 |
11 |
0,700 |
0,879 |
1,093 |
1,372 |
1,812 |
2,23 |
2,76 |
3,17 |
4,59 |
12 |
0,697 |
0,876 |
1,088 |
1,363 |
1,796 |
2,20 |
2,72 |
3,11 |
4,49 |
13 |
0,695 |
0,873 |
1,083 |
1,356 |
1,782 |
2,18 |
2,68 |
3,06 |
4,32 |
14 |
0,694 |
0,870 |
1,079 |
1,350 |
1,771 |
2,16 |
2,65 |
3,01 |
4,22 |
15 |
0,692 |
0,868 |
1,076 |
1,345 |
1,761 |
2,14 |
2,62 |
2,98 |
4,14 |
16 |
0,691 |
0,866 |
1,074 |
1,341 |
1,753 |
2,13 |
2,60 |
2,95 |
4,07 |
17 |
0,690 |
0,868 |
1,071 |
1,337 |
1,746 |
2,12 |
2,58 |
2,92 |
4,02 |
18 |
0,689 |
0,863 |
1,069 |
1,333 |
1,740 |
2,11 |
2,57 |
2,92 |
3,96 |
19 |
0,688 |
0,862 |
1,067 |
1,330 |
1,734 |
2,10 |
2,55 |
2,88 |
3,92 |
20 |
0,688 |
0,861 |
1,066 |
1,328 |
1,729 |
2,09 |
2,54 |
2,86 |
3,88 |
|
0,674 |
0,842 |
1,036 |
1,282 |
1,645 |
1,960 |
2,33 |
2,58 |
3,29 |
1 Более подробно о классе точности прибора см. Сысоев С.М. Лабораторный практикум по электричеству и магнетизму: Методические указания к лабораторным работам по курсу общей физики. Для студентов всех специальностей / Сысоев С.М., Манина Е.А., Никонова Н.О.; Под ред. С.М. Сысоева. – Сургут: Изд-во СурГУ, 2004.