Метод моментов

Дана выборка объема . Случайная величина описывается некоторым законом распределения .

Суть метода: находятся выборочные моменты

, , .

Выборочные моменты приравниваются к теоретическим моментам, получается система уравнений

,

где - размерность вектора .

Пример: дана выборка из равномерной совокупности , . Надо найти оценку параметров , по заданной выборке.

Находим теоретические моменты

,

Если

,

,

тогда имеем

Метод вероятностной бумаги

В общем случае закон распределения является монотонной неубывающей функцией от аргумента . Предыдущий метод приводит к решению системы трансцендентных уравнений, которая не поддается анализу в общем виде. Вследствие этого применим другой по своей сути метод – метод вероятностной бумаги(спрямление рядов распределения).

Смысл: выборка дает возможность построить эмпирическую функцию распределения по точкам с координатами . Ищется такое преобразование координат и , которое переводит точку в точку

,

.

Преобразование координат подбирается таким образом, чтобы координаты и допускали линейное выражение. По методу наименьших квадратов находятся параметры и :

- оценка параметров.

Пример: рассмотрим закон распределения Вейбулла , .

.

Значит

12).Теперь проведем оценку параметров по нашим данным.

а) с помощью метода вероятностной бумаги:

10	0,48	21
20	0,89	22
30	1,37	22
40	1,79	22
50	2,15	23

Следовательно, .

б) с помощью метода моментов:

13). Критерии согласия. Выравнивание рядов распределения.

Выравнивание рядов распределения представляет задачу определения типа распределения, которому подчиняются данные выборки, а также оценка параметров распределения.

После того, как построена таблица сгруппированных данных, в которой имеются выборочные частоты попадания в интервал и теоретические частоты, проверяем вид распределения.

Для проверки правильности выбранного вида распределения и оценки его параметров служит критерий согласия /согласие экспериментальных данных с теоретическими/. Рассмотрим два из них, которые используются при решении задачи выравнивания рядов распределения.

Критерий согласия Пирсона

Этот критерий является наиболее гибким. Он широко используется сравнительно давно. Как и любой критерий, он не доказывает справедливость гипотезы, а лишь устанавливает на принятом уровне значимости ее согласие или несогласие с данными наблюдений. Для его применения полученные данные группируются по интервалам частот и сравниваются с ожидаемым числом наблюдений для принятого распределения, т.е. в нем сравниваются и /оценка/

, где k - число интервалов.

Пусть закон распределения содержит r параметров, тогда вычисленная величина подчиняется - распределению с степенями свободы.

Правило проверки: задаемся уровнем значимости . По таблицам распределения находим квантиль с уровнем . Если , то гипотеза о правильности выбранного распределения отвергается. В противном случае - не отвергается.