3.4.Густина станів і випромінювання абсолютно чорного тіла

Число мод з резонансними частотами в межах від до залежить в загальному випадку від геометрії резонатора. Проте, коли характерні розміри його великі в порівнянні з довжинами хвиль розглядуваного випромінювання, ця залежність стає несуттєвою, і густина мод станів не залежить від форми резонатора. Обмежившись саме цим випадком, виберемо резонатор у вигляді кубу зі сторонами, які рівні Залежність поля довільної форми від координат виражається функцією Користуючись періодичними граничними умовами з періодом по кожній з декартових координат, отримуємо наступні обмеження на компоненти вектора

(3.28)

де – цілі числа.

Ґрунтуючись на рівняннях Максвела , можна отримати

Із співвідношення (3.28) випливає, що Отже, кожній моді відповідає об’єм в і – просторі. Число мод , модуль хвильового числа лежить в межах від 0 до , легко знайти, поділивши повний об’єм кулі в просторі на об’єм що приходиться на одну моду, і помноживши результат на 2, так як кожному значенню відповідають два направлення поляризації поля. В результаті маємо або у відповідності з співвідношенням де показник заломлення,

(3.29)

Це є число мод з частотами від 0 до що припадають на одиницю об’єму резонатора. Спектральна густина станів рівна:

(3.30)

Спектральна густина випромінювання чорного тіла (рівноважне випромінювання) рівна : де Ймовірність того, що осцилятор знаходиться в стані з енергією у відповідності з розподілом Больцмана пропорційна але при обчисленні середніх значень в квантово-механічному розгляді інтеграли заміняються сумами